( io43 ) 



nérale celle équivalente, au point de vue de la difficulté, des r solutions 

 particulières. 



)) Ce second problème dépend toujours de l'étude d'un groupe que l'on 

 obtient de la manière suivante : On écrit les égalités qui donnent la so- 

 lution générale (:;,, . . ., Zp) en fonction des solutions particulières, et l'on 

 y remplace successivement : au premier membre (z,, ..., z^ par mou- 

 veaux systèmes de variables, 



et, au second membre, les constantes ou les fonctions arbitraires par r 

 nouveaux systèmes de constantes ou de fonctions 



(C,, ...,Ca),, ..., {l\, ...,Ck)r, ou ('1',, .... d'^.),, ..., ($ <Ï)a),. 



M JjCS pr égalités ainsi obtenues définissent entre les pr variables z et 

 les variables Z un groupe de transformations qui est le groupe attendu. 

 On voit que ce groupe peut être continu ou discontinu, fini ou infini, et 

 même complexe. Il joue dans le problème considéré le même rôle que le 

 groupe symétrique dans l'étude des équations algébriques, ou le groupe 

 linéaire et homogène dans l'étude des équations différentielles linéaires. 

 Nous le nommerons groupe de transformations des éléments fondamentaux 

 ou simplement groupe fondamental. 



» Les invariants de ce groupe sont des fonctions d'un nombre limité 

 d'entre eux, formant ce que l'on appelle un système complet d'invariants, 

 et peuvent s'écrire immédiatement lorsqu'on connaît les équations qui dé- 

 finissent (3,, ..., 3p) à l'aide de a?,, ..., x^. Lorsque les arbitraires qui 

 figurent dans ces équations sont choisies de la manière la plus générale, 

 conservant à la solution générale la propriété énoncée au début, ces inva- 

 riants du groupe sont les seules fonctions que l'on connaisse sans inté- 

 gration ou résolution d'équations. Tout abaissement de la difficulté du 

 problème se traduit par la connaissance d'un invariant caractéristique 

 d'un sous-groupe du groupe fondamental et réciproquement. Enfin, en ne 

 faisant appel qu'à des opérations d'une nature donnée, on peut indiquer 

 une marche théorique pour la réduction du problème. Ajoutons que le 

 problème auquel nous sommes conduit est un cas particulier du suivant 

 qui est appelé à jouer un rôle de plus en plus grand dans les recherches 

 de M. Lie : on donne les invariants différentiels d'un groupe, calculer les 

 invariants différentiels d'un de ses sous-groupes. 



» J'indique ici quelques exemples où les considérations qui précèdent 



