( io44 ) 



trouveront leur application. Le plus simple après celui des équations algé- 

 briques est donné par les courbes et les surfaces algébriques. Soit proposé 

 de déterminer, lorsqu'on connaît l'équation d'une courbe algébrique 

 d'ordre n, les expressions de x eiy en fonction d'un paramètre t; ce pro- 

 blème se décomposera en deux autres : i° trouver les coordonnées d'un point 



quelconque en fonction des coordonnées de — ^^ points de la courbe, 



question qui se rattache aux recherches de Grassmann sur la génération 

 des courbes; 2" déterminer points de la courbe. Ce dernier pro- 

 blème est l'étude d'un groupe fini à paramètres, connu dès que 



le premier problème est résolu et qui doit jouer un rôle fondamental dans 

 l'étude des courbes algébriques. 



» Citons en passant l'étude des équations transcendantes dont les 

 racines dérivent d'un nombre limité d'entre elles par les substitutions d'un 

 groupe discontinu et arrivons aux systèmes différentiels. Des cas simples 

 sont donnés par les équations différentielles linéaires traitées en détail 

 par M. Vessiot, l'équation de Riccati et en général les systèmes simultanés 

 qui font l'objet des recherches de MM. Vessiot et A. Guldberg. 



» Une application plus importante consiste dans l'étude des équations 

 linéaires aux dérivées partielles du premier ordre et des systèmes complets 

 de telles équations. Le groupe fondamental est dans ce cas un groupe 

 ponctuel général et les plus importantes recherches de M. Lie sur ce sujet 

 forment dans cette étude la partie correspondant aux travaux d'Abel sur 

 les équations algébriques. 



» J'ajoute que les groupes infinis qu'il y aura à considérer dans cette 

 théorie seront précisément ceux découverts par M. Picard et signalés par 

 lui dans un article du Journal de Liouville (1892). 



» Je demanderai à l'Académie la permission d'indiquer dans une pro- 

 chaine Note comment on peut appliquer les mêmes considérations à la 

 plupart des problèmes traités par M. Darboux dans ses célèbres Leçons 

 sur la théorie des surfaces et de développer les résultats auxquels on parvient 

 dans ces différentes directions. » 



