( io45 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la limitation du degré pour les intégrales 

 alo-e'briques de l'équation différentielle du premier ordre. Note de M. Au- 

 TONNE, présentée par M. Jordan. 



« Conservant les définitions et notations de ma dernière Note (28 jan- 

 vier 1893), je me propose d'établir le théorème suivant : 



» Le degré n de l'intégrante algébrique irréductible G, située sur une sur- 

 face algébrique S de degré N, est limité, dés qu'on limite le degré [j. de multi- 

 plicité sur G d'un point singulier quelconque de S . 



» La Note du 23 janvier 1893 énonçait cette proposition dans le cas 

 particulier où G était Vintégrante générale et S n'avait que des nodaux 

 ordinaires. G sera maintenant une quelconque des intégrantes algé- 

 briques, en nombre fini ou infini, situées sur S; JF aura des singularités 

 quelconques. Sont exclues, toutefois, les courbes multiples et les courbes 

 nodules, c'est-à-dire formées de points nodaux. Cela revient à supposer que 

 l'équation différentielle H, représentée par JF, est dépourvue d'intégrale 

 singulière. 



» Les seuls points multiples de G seront les nodaux et points multiples 

 de £; soient M un pareil point, m sa projection sur un plan quelconque X. 

 Les procédés de Briot et Bouquet, généralisés par MM. Poincaré et Picard, 

 fournissent les développements en séries des coordonnées, lesquels cor- 

 respondent aux diverses branches de G, en nombre limité [j., issues de M. 

 On peut alors, par des méthodes imitées d'Halphen et de M. Niither, 

 limiter pour M quatre entiers a, p, y. •/), dont voici la signification. 



» Imaginons, en coordonnées homogènes Zj(j = i, 2, 3, 4). G donnée 

 par les équations 



y(-ii2o,s,) = o, z^ Uq( z-,, Zn, Zi^) -h u,(^:-,, Z2, Zf) = o 



d'un cône et d'un monoïde. Sur le plan X ou 3, = o, il y a 7. points 



confondus en m; la singularité en m de la courbe Uo ■= o équivaut au pas- 

 sage par p points simples. 



