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» Un point singulier M de J se comporte comme un nodal sur chacune 

 des nappes de J^ qui s'y réunissent. M peut être envisagé comme consti- 

 tué par la réunion d'un certain nombre de nodaux. Si les divers nodaux 

 de S, isolés ou réunis à plusieurs en un point singulier, sont des cols, le 

 nombre y. est immédiatement limité par les procédés de Briot et Boucpiet, 

 et la formule (o) est applicable sans aucune hypothèse supplémentaire. 

 Dans ce cas particulier, le problème relatif à l'intégration algébrique de 

 l'équation différentielle H est complètement résolu. 



» Pour achever la solution dans ce cas général, il me reste : 



» 1° A limiter les nombres (a pour les nœuds de S, distincts ou confon- 

 dus en un point singulier; 



» 2" A étudier les surfaces S ayant un nombre infini de nodaux. 



M Ce sont les surfaces, exclues au commencement de la présente Note, 

 ayant des courbes multiples ou nodales. La formule (o) subsiste, mais 

 n'est plus d'aucun usage, puisque la somme 1 a un nombre illimité de 

 termes. 



» Ces recherches feront l'objet de Communications ultérieures. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème relatif à la transformation 

 des courbes algébriques. Note de M. Simart, présentée par M. Picard. 



« M. Nother a démontré qu'on peut toujours, par une transformation 

 de Crémona, transformer une courbe algébrique quelconque en une autre 

 n'ayant que des points multiples à tangentes distinctes. Peut-on ramener tous 

 les points multiples à être des points doubles? Ce résultat, affirmé par 

 bien des auteurs, n'a jamais, que je sache, été démontré rigoureusement. 

 Halphen, dans son Etude sur les points singuliers des courbes planes, arrive 

 à ce théorème, mais en passant sur une difficulté signalée par M. Picard 

 dans le deuxième Volume de son Traité d'Analyse. Voici, je crois, une dé- 

 monstration à l'abri de toute objection. 



» Soit /(oc:, y) = o une courbe algébrique de degré m dont tous les 

 points multiples sont à tangentes distinctes et dont les 7n directions asym- 

 ptotiques sont différentes ; la direction des axes est d'ailleurs arbitraire. 



» L'origine étant supposée un point multiple d'ordre n, effectuons sur 

 cette courbe la transformation suivante 



(2) 



Y S^ œ{x ■+ y -i-i) 



' ~ S3 ~ j(-r-+-i) 



^ S, j:[(i -+-a)x + =(] + p,)'(-i'+J-f-i) 

 1 — jv- — z r > 



C. R., 189.3, I" Semestre. (T. CXVI N» 19.) 136 



