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 où je ne conserve que deux arbitraires a et (i uniquement pour simplifier 

 la démonstration. 



» A la courbe proposée correspond par la transformation (2) une 

 courbe F (X, Y) = o. 



» On démontre que les deux courbes / et F se correspondent point 

 par point, qu'aux points multiples à tangentes distinctes de la courbe/ 

 correspondent des points multiples à tangentes distinctes de la courbe F, 

 sauf le point multiple d'ordre n à l'origine qui aura été remplacé par 

 n points distincts sur la courbe F, enfin que la courbe F a 2.m — n direc- 

 tions asymptotiques distinctes. Mais la transformation (2) aura fait naître 

 des points doubles et peut-être même des points triples, qui correspondent 

 aux points distincts {x, y), {x', y') de/pour lesquels on aura 



» Nous nous proposons de montrer que les solutions de ces quatre 

 équations seront simples et s'associeront seulement deux à deux pour 

 former des points doubles à tangentes distinctes. 



» Dans ce but, nous effectuerons successivement les transformations 

 suivantes, dont les deux premières sont birationnelles de plan à plan, 



y 



.V 



(2,) x = x, •/) 



( •i-) ) A = -, ^ — > '/•( = y. 





{!,) X=.X. ^ 



Par ces transformations (I,) et (2„), on fait correspondre à la courbe / 

 une courbe/ de degré "im — ■2.n. 



1) On démontre, sans difficulté, que la courbe /j, dont les coefficients 

 ne contiennent ni a, ni fl, n'a, en dehors de l'axe des x et de l'axe des vi, 

 que des points multiples à tangentes distinctes correspondant à ceux de/, 

 qu'à Y) = o correspondent m — n valeurs de X infinies, mais donnant à 

 ■/)X des valeurs finies et distinctes, et qu'à X = ^d correspondent m valeurs 

 distinctes de vi, et m — n autres valeurs nulles, mais donnant à y)X des va- 

 leurs finies et distinctes. 



)) Par la transformation (I3), la courbe/ se transforme en la courbe F, 

 et les points doubles ou triples, dont nous avons parlé précédemmeni, 

 correspondent aux points distincts (X, r,), (X, r/) de f.,, pour lesquels on 



