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aura 



(E) ;;^^ =^ :^, , /^{X,-n) = o, J.,{X,-ri) = o. 



» La première des équations (E) donne pour X, après suppression du 

 facteur -o — Wj une fonction symétrique de n et v)', 



» Le produit 



n [ Xvjyj' ( p-on' — I ) H- •/] -I- r/ — x-/)7i'] 



étendu à toutes les racines prises deux à deux de l'équation /^ = o, et 

 égalé à zéro, donnera une équation ^(X) = o dont les racines correspon- 

 dront aux points pour lesquels il existera deux ou trois valeurs de v) 

 donnant à Y la même valeur. Ces racines doivent dépendre de ot et de p; 

 car supposons que l'une d'elles soit indépendante de a. Pour une pareille 

 valeur de X, les valeurs correspondantes de ri, fournies par l'équation 

 y^ = o, seraient aussi indépendantes de ce paramètre, puisque la fonction/^ 

 ne contient pas les paramètres a, p. On devrait donc avoir pour des va- 

 leurs X, ■/], r,' indépendantes de a, la relation 



PX-/)--/)'^ + r, + -ri' — ■/)•/;' X — (X-/]-/)' = o 



quel que soit a, ce qui ne peut avoir lieu que pour ou ■/)' nul, donc, 

 d'après ce que nous avons dit, pour X = co. Mais cette valeur n'est pas à 

 considérer puisque les directions asymptotiques de la courbe F sont 

 distinctes. Par suite, les racines de l'équation $(X) ^=0, que nous avons en 

 vue, doivent dépendre à la fois de a et p. 



» Il résulte de là qu'il ne peut y avoir plus de deux valeurs de v), corres- 

 pondant à une même valeur de X, donnant à Y la même valeur. En effet, 



dans le cas où il existerait trois telles valeurs oo'vi", on aurait X = — j—r,') 



donc X devrait satisfaire aussi à l'équation W(X) = Il(aXyi7i'7)" — 1 ) = o, 

 le produit n étant étendu à toutes les racines de /a, prises trois à trois. Les 

 i-acines de cette équation ne peuvent dépendre que de oc. Donc les équa- 

 tions W^o, <î) =0 sont distinctes, ce qui suffit pour démontrer le résultat 

 que nous avions en vue. 



» Pour déterminer effectivement les points doubles on substituera àX. 



