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 OU conclut pour les équations du système considéré 



i = i 



les r transformations infinitésimales 



^j/=^^^Ji('^ '"^'«^è , (y=r,2, ...,'a7), 



'■=' ' 1 



définissant un groupe G à r paramètres. De plus, dans le cas présent, G 

 est p fois transitif. 



)) II. Abandonnant cette dernière condition, nous avons, dans les 

 systèmes de la forme (3) une classe très étepdue de systèmes d'équations 

 différentielles, comprenant naturellement ' l'équation de Hiccati et les 

 systèmes d'équations linéaires. On peut dire de quelle manière les con- 

 stantes arbitraires figurent dans l'intégrale générale d'un tel système. Sup- 

 posons, en effet, que les équations (i) sont les équations du groupe G, et 

 employons la méthode de la variation des constantes, en remplaçant les 

 A'ariables c par des constantes arbitraires, etten cherchant à déterminer les 

 paramètres a en fonction de t. En reprenant les calculs précédents, on 

 voit qu'il suffira d'avoir une solution particulière des équations (2) et de 

 la porter dans les équations (i) pour avoir l'intégrale générale du sys- 

 tème (3). / 



)) Dans le cas particulier où G est p fois transitif, on peut montrer de 

 plus que les a s'expriment en fonction des np intégrales de p solutions par- 

 ticulières quelconques, c'est-à-dire que le système (3) a effectivement des 

 systèmes fondamentaux d'intégrales. La recherche des systèmes d'équa- 

 tions à systèmes fondamentaux est donc ider|tique à la détermination d'une 

 classe de groupes de transformations. 



» III. Revenons au cas général où le groupe G est quelconque. Le sys- 

 tème (3) est équivalent à l'équation unique 



M Les équations de cette forme ont été étudiées par M. Sophus Lie, et 

 c'est cà l'intégration de telles équations que l'illustre savant ramène l'inté- 

 gration des systèmes complets qui admettent des groupes de transforma- 

 tions connus. A leur égard, je ferai seulement, dans cette Note, la remarque 



