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» Prenons comme point de départ un système général de nombres com- 

 plexes, composé par «unités irréductibles c,, ...,e„, de sorte que le nombre 

 général x du système ait la forme x^e^+.. .-+- x,^e,„ x, x„ représen- 

 tant des nombres complexes ordinaires. Nous ne supposons, quant à la 

 multiplication dans notre système, que la loi distributive 



(a -+- b){c + rf) = ac + hc + ad -+- bd. 



» Alors chaque produit est iléfini, dès que les produits des unités sont 



donnés, 



eie.k = i,y/A.e, {i, /: = i, 2, . . ., n), 



Ip'S YMi désignant des nombres complexes ordinaires. Nous supposerons, 

 en outre, que l'inversion de la multiplication, la division, soit en général 

 possible. Mais nous ne supposerons point du i tout la loi commutative et 

 la loi associative de la multiplication. 



» Or, siy, , ...,y„ représentent « fonctions continues de a;,, ...,x,^, nous 

 considérons le nombre du système /:=/", e, —., . + /"„£„, qui varie avec 

 a; = a-, e, +. . .+ x,,e,^. Nous nous posons la question de voir si celte fonc- 

 tion / de X a une dérivée indépendante de dx^ . . .dx,^. Au surplus, cette 

 dérivée ne doit pas être un nombre particulier du système. Comme la 

 division est à double entente, parce que le système n'est pas nécessaire- 

 ment commutatif, le quotient des deux nombres 



df — irt ^ dxt,ei, dx - i, dx^Ci 



aura deux valeurs /' et '/qui suffisent aux équations 



df=fdx, df=dx.'f; 



il n'y a rien à changer. 



» Si nous posons encore dx=jdt, dt signifiant un nombre infinitési- 

 mal, y sera un nombre quelconque, et nous aurons /'j = j.'/. De là 



df 



résulte que la fraction -j- peut avoir des valeurs /' et '/indépendantes de 



dx^ . . . dx/,, seulement dans le cas où l'on peut adjoindre à chaque nombre 

 u un nombre c, de telle manière que l'on ait, (pour chaque nombre y du 

 système, 



uy = yv. 



» On peut démontrer que cette condition est aussi suffisante pour 



