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l'existence de telles fonctions y". Nous appelons chaque fonction f, pour 



laquelle -^ est indépendant de dx^...dx^, une fonction analytique de 



a-' , e , -I- . . . + a',j e„ . 



» Maintenant supposons, en outre, que le système contient le module e, 

 c'est-à-dire un nombre e = e,e, +. . .+ £„e„, de telle manière que l'on ait 

 toujours 



XI = iX = X. 



Or, si nous posons }' = a, la formule uy = yv donne d'abord u=^v et, par 

 conséquent, uy = y a. Donc : 



w Le système doit être commutatij, et l'on a 



» Dans un tel système, les conditions pour une fonction analytique / 

 sont celles-ci : 



(') Ê = ^'^^ ^ '^ ^'"^ ^'^' '^" = I ' 2, • • , «), 



et les composantes y,, . . ., f]^ de la dérivée f sont données par les for- 

 mules 



» Il n'est pas difficile de démontrer que la dérivée est aussi une fonc- 

 tion analytique, c'est-à-dire qu'elle satisfait aux équations analogues à l'é- 

 quation (i), 



(i') 'é'k^'^'J^j'j'^"" {s,k=ï,i, ...,n). 



» Mais ce résultat ne peut pas être renversé. Si nous avons une fonction/', 

 qui remplit les conditions (i'), la fonctiony, définie par (2), n'est pas, en 

 général, une fonction analytique. On peut d'abord trouver des conditions 

 pour cela, par l'exemple /'= a;. a;, qui est une fonction analytique. On 

 trouve ainsi les conditions 



qui disent que la multiplication obéit à la loi associative (ab)c = a(bc). 



» En outre, il est facile de montrer que les conditions (3) sont aussi 

 suffisantes pour que les équations (i) résultent des équations (i'). Ap- 



