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 pelons alors la fonction / {'intégrale de la fonction/', nous avons le théo- 

 rème : 



» Dans un système distributif avec un module, il n'existe de fonctions 

 analytiques et d'intégrales analytiques que dans le cas où le système est aussi 

 commutatif et associatif. 



» On ne peut donc généraliser complètement les bases de la théorie des 

 fonctions analytiques que pour les systèmes qui remplissent toutes Ifes 

 trois lois de la multiplication. Mais, dans un tel système, il y a toujours un 

 nombre infini de fonctions analytiques. 



» Je me propose de revenir au même problème, en considérant des 

 groupes joints à un système de nombres. » 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les cas d'intégrabilité du mouvement d'un 

 point dans un plan. Note de M. Elliot, présentée par M. Darboux. 



(( I. Lorsqu'un mobile est sollicité par des forces résultant d'un poten- 

 tiel, la condition pour que le problème admette une intégrale du second 

 degré se traduit par une équation aux dérivées partielles du second ordre 

 que doit vérifier la fonction des forces. Cette équation, que M. Bertrand a 

 rencontrée sans en donner l'intégrale ('), admet pour intégrale générale 

 les expressions trouvées par Jjiouville (^). Ce résultat s'établit aisément 

 en formant l'expression générale des éléments linéaires susceptibles d'être 

 ramenés à la forme de Liouville, ou, ce qui revient au même, en cherchant 

 les fonctions U pour lesquelles l'équation aux dérivées partielles 



(1) p^ + q^- = \J, 



peut être ramenée, après un changement coi|venable de variables, à la 

 forme 



(2) p] + q] = ^{x,) + W(y,), 



où 4» et *F désignent deux fonctions arbitraires. 

 » Soit 



(3) x, = k{x,y), y^ = -^{x,y) 



(') Journal de Mathématiques. 9.' série, t. II, p. ii3. 

 (') Ibid., i" série, t. XI. 



