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le changement de variables qui permet de passer de l'équation (2) à l'équa- 

 tion (i). Il faut d'abord que A et B satisfassent aux conditions de la repré- 

 sentation conforme 



.^s dA dB àA__dB 



^^ d.r Oy' dy dv' 



et l'expression générale de la fonction U est 



(5) U = (^^^^^)[<I>(A)-^W(B)]. 



» On obtiendra une équation aux dérivées partielles dont (5) est l'in- 

 tégrale générale, en exprimant que l'équation (i) admet une intégrale du 

 second degré que nous prendrons sous la forme (cLp -\- ^qY 4- 2y = const., 

 a, p, y étant des fonctions de x et j. On trouvera sans difficulté, d'abord 

 que oc et p doivent satisfaire aux conditions de la représentation conforme, 

 ensuite que la fonction U doit satisfaire à l'équation 



j ^dx' ôy"- 1 ^^ ^d-rdy 



^ ^ \ 3 f)(p-^— g -^) ^ 3 ()(p^— g-) dU d'(P^— g^) „ _ 



' 3 dy dx a d.v dy dx dy 



y> Les fonctions A et B qui définissent le changement de variables sont 

 déterminées par les quadratures 



(7) 



» II. Si l'on veut que ces résultats s'appliquent à un problème de Méca- 

 nique, il faut que U soit susceptible d'une constante additive, et, par suite, 



que — ^'— -j — ~ = o. Cette condition et celles de la représentation con- 

 formes déterminent 00 et p par les deux relations 



(8) p- — ■y.- = a{y- — x-)-^ib^y — ihx-\-c, 1^'^^ axy -{-h^.v +hy -\-c^, 



où a, b, 6,, c, c^ sont des constantes. 



» Supposons d'abord a ^ o; on pourra le faire égal à l'unité. Un trans- 

 port d'axes permet de supposer nulles les constantes b et b,. Les équa- 

 tions (7) montrent que si l'on pose /^(s) = a -H ^i, A et B seront la partie 



"^ > et les relations (8) 



