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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles ordinaires, qui 

 possèdent des systèmes fondamentaux d'intégrales. Note de M. Sophus 

 Lie. 



« Les théories classiques du système simultané 



et de l'équation équivalente 



prennent au fond leur origine dans ce fait, que les n"^ transformations in- 

 finitésimales ^i-^ tles variables x^, . .., x,^ déterminent un groupe con- 

 tinu et fini. Cette remarque m'a conduit depuis longtemps (^Société des 

 Sciences à Christiania, novembre et décembre 1882, Math. Ann., t. XXV, 

 p. i24-i3o) à l'étude de l'équation générale 



dans laquelle les expressions 



l,...,n 



df 



^■Kf= 2 ^^■'■(•^ ' ^«^^f; 



définissent un groupe continu et fini quelconque. 



» J'ai de plus esquissé une théorie générale de l'intégration de l'équa- 

 tion »l./= o, même en supposant connus d'avance, pour le système simul- 

 tané 



(2) ^■ = Z,^„ + ...-^Z,E,, {k. = x,...,n), 



m intégrales Q.^(^x^, . . .,x„z), .. ., îi,„ ou /n systèmes d'équations intégrales 



y.n{x,, ...,x„z) = o, ..., aiy(x ,-) = o (i=u ■■■,m). 



» La véritable raison de ces théories est, comme je le dis expressément 

 (Math. Ann., t. XXV, p. 128), qu'il est toujours possible de trouver les 



