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intégrales générales du système simultané (2), lorsqu'on connaît un cer- 

 tain nombre fini de systèmes de solutions particulières 



(3) < <; < orl; ...; <', ..., 4-'. 



» On trouve donc, dans les Mémoires cités, une catégorie extrêmement 

 étendue de systèmes simultanés qui possèdent ce qu'on appelle des systèmes fon- 

 damentaux d'intégrales. Je ne crois pas qu'il sera possible de perfectionner, 

 quant au fond, mes théories d'intégration pour ces équations. 



» Il faut se rappeler qu'il est possible de réduire mes équations auxi- 

 liaires de l'ordre m à des équations linéaires de l'ordre m -\- i ou m + 2 

 quand le groupe simple correspondant appartient à Tune des quatre 

 grandes classes que j'ai considérées. 



» J'ajoute qu'on trouve les expressions des solutions générales x^, .... 

 .r„ en fonction des quantités (3) en résolvant par rapport à x^, ...,x,, 

 certaines équations 



l,{x„...,œ„;x\ <;...; a:';'^ ..., a^if" ) = a„ 



les l^ désignant ce que j'appelle des invariants des m -[- i points x^, x\, ..., 

 x'^l'" par.rapport au groupe x,f, ..., x^f. 



» M. E. Vessiot, dont la thèse récente constitue un progrès si important 

 dans la théorie des équations différentielles linéaires, a eu l'heureuse idée 

 de chercher toutes les équations différentielles ordinaires qui possèdent des 

 systèmes fondamentaux d'intégrales, et M. Alf. Guldberg s'est aussi oc- 

 cupé de la même question. 



» Je viens de publier moi-même à ce sujet une petite Note (voir Leipzi- 

 ger Berichte, 8 mai iSgS). Sans entrer dans des détails, je crois utile de 

 faire ici quelques remarques dont la généralisation est évidente 



» Etant donnée une équation différentielle du premier ordre 



dx:= ?(^. z)dz, 

 le système simultané 



dz:dx\dx' — \ : ^{x,z) : cp(a;', s) 



possède évidemment deux solutions de la forme «(.r, =), u{x\ z). Donc, en 

 égalant à une constante arbitraire a une fonction quelconque de ces deux 

 quantités, on obtient toujours une formule x = F(^, x',a) qui exprime la 

 solution générale x par une solution particulière x' et z. Or cette formule 

 ne détermine pas en général un groupe entre x et x' . Néanmoins, si l'on con- 



