( 1239 ) 

 que de la représentation sphériquc de (G); ce fait a déjà été signalé par 

 M. Cessera t ('). 



» Soit maintenant un réseau conjugué d'une surface {g) qui a la même 

 représentation sphériqueque les développables de (G); la tangente n, aux 

 courbes ii =const. de cette surface, étant perpendiculaire aux deux direc- 

 tions «, S, Y et -T^, -r^> -~, est parallèle à N,. La congruence («,) a donc 

 '^ ' Ou Ou au ^ ° \ 1/ 



même représentation sphérique que le réseau conjugué (N,); appliquons 

 ce même théorème aux systèmes («,), (N,); la congruence («,) admet 

 deux surfaces focales (g) et {gt); du réseau conjugué (N,) on déduit les 

 deux congruences (G)et(G,); la congruence (G,) aura donc même repré- 

 sentation sphérique que le réseau conjugué {g^) et ainsi de suite. 



» De la congruence (G) on déduit, par l'application répétée de la mé- 

 thode de Laplace, une série de réseaux conjugués et de congruences; de 

 même, du réseau conjugué {g), on déduit une seconde série de con- 

 gruences et de réseaux conjugués. Relativement à ces séries, on peut 

 énoncer les résultats suivants : 



» 1. La représentation sphérique d'un élément d'une 5eWe (réseau con- 

 jugué ou congruence) détermine celle de tous les autres éléments. 



» 2. ^ chaque réseau d'une série correspond une congruence de Vautre et 

 les éléments correspondants ont même représentation sphérique. 



» Remarquons maintenant que, si un réseau conjugué est formé de 

 lignes de courbure, la congruence correspondante est une congruence 

 de normales; d'où l'identité des deux problèmes suivants : 



» 1. Trouver un réseau conjugué, composé de lignes de courbure, qui, 

 après p transformations de Laplace, se transforme en un réseau analogue. 



» 2. Trouver une congruence de normales qui, après p transformations de 

 iMplace, se transforme en une congruence de normales. 



M Si /J = I , on voit que les deux problèmes : 



» 1 . Trouver une congruence dont les développables touchent les surfaces 

 focales suivant leurs lignes de courbure; 



» 2 . Trouver une surface qui admet un réseau conjugué formé de géodésiques, 

 sont équivalents. J'ai déjà établi l'identité de ces deux problèmes (^). 



(') Sur les congruences de droites et sur la théorie des surfaces {Annales de 

 Toulouse). 



(^) Sur les surfaces à courbure totale constante et sur certaines surfaces quls'y 

 rattachent [Annales de l'École Normale, l'go). 



C. R., 1893, I" Semestre. (T. CXVI, N" 22.) lt3l 



