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les élcmenls infinitcsimaiix de l'espace iuitour du point (œ^ .»„) seront 



transférés dans les éléments infinitésimaux de l'espace autour du point 

 (a-'i r)^) par la transformation projectù'e 



(2) dx. = ^A ^ ffr/t («■ = 1 , 2, . . . , n). 



» En considérant dx^ dx„ comme coordonnées initiales, dx\ , . . ., 



dx\^ comme coordonnées transformées et regardant, dans les transforma- 

 tions (2), x\, ..., x„ comme des paramètres, on peut traiter le cas où 

 toutes ces transformations (2), déduites de la même transformation (i), 

 forment un groupe^simplement transitif de transformations échangeables, 

 selon la terminologie de M. Sophus Lie. Inversement, si ce groupe ^ est 

 donné, on peut montrer que l'on obtient toutes les transformations (i) 

 en formant les fonctions analytiques /, e, + . . . + fn^n ^^ système de nom- 

 bres complexes à n unités f,, .. ., p„, qui est défini, selon un théorème de 

 M. Study (voir Leipziger Berichte, 1889), par le groupe g. 



» La représentation conforme est évidemment un cas très particulier 

 de ces transformations (r). 



» Pour les fonctions analytiques^ =/, e, + . . . -t-/„e„ d'un système dis- 

 tributif, associatif et commutatif de nombres complexes à n unités e, , . . ., 

 e„, on peut établir des théorèmes analogues aux théorèmes sur les fonctions 

 analytiques ordinaires. Je me bornerai à énoncer quelques résultats : 



)) Si deux fonctions analytiques ont les mêmes valeurs le long d'une 

 courbe dans l'espace (a;,, ..., x^), alors elles sont nécessairement les 

 mêmes dans toute la partie de l'espace où elles sont définies. 



» Il est possible de développer chaque fonction analytique /(a:.') dans 

 les environs d'un point général (.t", . . ., a;") en série de la forme 



X 



' = a,, H- fl, (.;r — j;") ■+- a., (x — x'^)- 



a„, a,, «2» ••• étant des nombres constants ilu système (e,, ..,f„). Cette 

 série converge si le point (a?) reste à l'intérieur d'un certain volume dé- 

 crit autour du point (a?" ). 



» Siy"(z) est une fonction analytique ordinaire de la variable ordinaire 

 z =^ X -\- iy, on la peut, comme on sait, développer en série. Or, cette 

 série définit une fonction analytique de notre système, si l'on remplace z 

 par un nombre du système z ^ x,e, -+-... ~h ir„e„. 



» Donc, si une relation entre des fonctions analytiques ordinaires est 

 juste pour toutes les valeurs ordinaires des variables, elle reste encore 



