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(72, ..., y„ et /,, ^21 •••»'«; ^n posant n = i, on retrouve le problème d'in- 

 version, traité par M. Weierstrass dans son célèbre Mémoire de i866. 



» Je suppose : 



» 1° Que les fonctions A,, ij;,, ..., 4'n peuvent être mises sous la forme 



où les constantes a/^ et Z»^ sont réelles, et où les fonctions -/^ ont des va- 

 leurs finies et positives dans les intervalles 



qk={ak---bk) 



» 2° Que, dans les mêmes intervalles, les fonctions f^kiÇk) conservent 

 leur signe et le déterminant 



?a(?/i) 



^'^k 



V'4'i-4'-2--.4'« 



{k,l= i, 2, ..., n) 



est fini et différent de zéro. Alors, pour des valeurs restreintes aux mêmes 

 limites, les variables q,, q^^ • • •> ?« ■^^ni des fonctions uniformes de t,, t.^, . . ., 

 t„ qui ont exactement n systèmes de périodes réelles, savoir 



20)(i,, 2(0^2, ..., 2œ^„ ([7. = I, 2, . . ., n) 



données par 



^k\' 



» Ensubstituant 2(p;to-i- 2(p;f,a, +...+ 2cpA„a„aulieude tj*/;, unefonction 

 linéaire du temps/ au lieu de /,, des constantes au lieu de. t^, t^, . ,., t„, on 

 obtient des fonctions y, .f^^,...,^,, du temps Z, qui satisfont aux équations (A), 

 et l'on peut déterminer les 2n constantes qui se trouvent dans ces fonc- 

 tions, en sorte que les conditions initiales du mouvement soient remplies. 

 Le mouvement n'est périodique que quand il existe des nombres entiers 

 m,, m.2, . .., m„ pour lesquels on a 



n 



^m/,(^ya~o, (7. = 2,3, ...,n); 



k=l 



dans ce cas, la période du mouvement est 



R 



2i2 = ]^mAto^,. 



