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 l'expression r du terme sommé, on peut considérer S,, S,, S,, S. 



f^ H (Il M — H ) ' - j I 



comme dénotant les quatre sommes dont il s'agit. 



» Considérons d'abord S,, ; en supposant que m', n! soient l'un ou l'autre 

 ou tous les deux impairs, on peut donner à m, n les valeurs im! , 2 n! \ ^m' , 

 l\n'% 8m', S/ï; ... ; on obtient 



S, = (S, + S, + S, ) ( 1 4- ^ + g", + . . .) = 5 (S, + S3 + s,), 



et le terme S, — S^ — S, -f- S., dans l'expression de /a> devient ainsi 



» Dans S,, 83, ou S,, en supposant que m, «'dénotent des nombres re- 

 lativement premiers, on peut donner k m, n les valeurs m', n' ; 'im, 3«'; 

 5m', 5n': ... : on obtient ainsi, pour chacune de ces sommes, 



où, au côté droit, m et n sont des nombres relativement premiers; le 

 terme devient ainsi 



et nous avons 



Yco = a^exp. —, -, ! S, S„ — S, • 



'- L ^4 24(0 12 \ ' 2 - •>, ■' ' /((/ico — /?i ) J 



Je m'arrête pour remarquer que cette expression s'accorde parfaite- 

 ment avec des résultats trouvés par M. Dedekind (^Œuvres de Biemann, 



Leipzig, 1876; p. 447)- Efi effet, en donnant à w la valeur co = h iy., % 



une valeur positive très petite, M. Dedekind trouve les valeurs de log/t et 

 log^'; en ajoutant ces valeurs et en ne faisant attention qu'aux termes qui 

 deviennent infinis pour a = o, on a 



logX-^' = 1 2 \og/oi = 24 A, m et n tous les deux impairs ; 

 logM'= i2\ogyo> = — 12A, m el n l'un impair, l'autre pair. 



» Ici A = — ; — —^ -, et les valeurs de loerYu sont ainsi ; 



24 «(«w — m) o^ 11 n{inu — m) 



. tir I 



et ; — ; respectivement. 



24 n(/tw — m ) r 



