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 » Dans l'expression de /w, il convient de réunir les termes qui corres- 

 pondent aux valeurs — m, -\- m, c'est-à-dire au lieu de — r> on doit 



' n{/iui — m) 



écrire 



/i\nto — in noj-\-inJ /i-w' — i»' 

 on a ainsi finalement 



■/M = 2° exp. 



24 2410 



6 \^' 2^^- i^V«-^<o-^-m-^J' 



où je rappelle que met tî sont des nombres positifs relativement premiers, 

 et que les signes sommatoires S,, S,, S3 se rapportent, S, aux valeurs im- 

 paires de m et n, S2 aux valeurs impaires de m et paires de n, S3 aux va- 

 leurs paires de m et impaires de n. 



» Ecrivant au lieu de w, le terme ——-: ; auquel se rapportent 



eu rt-co- — ni- ^ ' ' 



les sommations se change en — ^— ^ ^i on peut échanger les lettres m et 



n, et l'expression de -/^( 1 devient ainsi identiquement celle de j^cu, c'est- 

 à-dire la forme met en évidence la relation ■/_( ) = yrio. 



» Il y a cependant, dans cette analyse et par rapport à l'échange des 

 lettres m et n, une difficulté qu'il convient d'écarter. Dans la formule 



I T ^r^ COSniTZ , . ,, . ,, , 



-; — ^ — = >, ( m = I lusqu a -I- co et — i lusqu a — 00) 



sina; X J^mX — niv. \ j t j t / 



qui donne lieu à 



co%ni-K 



-S 



niwx-nr.ixi /i--k(i> tt .^J,„ /j(«io — m) 



il est nécessaire que la variable x ait une valeur finie ou au moins infini- 

 ment petite par rapport aux valeurs extrêmes de /n; ainsi, en écrivant 

 pour x la valeur rnzbi, les valeurs extrêmes de n doivent être infiniment 

 petites par rapport à celles de m, et la somme que nous avons dénotée 



simplement par V y - r sienifie réellement V V —, — ' ,> 



savoir les limites pour n sont i , v et pour m ces limites sont — i , — ;;. et 

 -(- I , -1- y. où ^. et V sont des nombres infiniment grands, mais - = oo, ou, 



V DO 



ce qui est la même chose, la somme est V V — , où v est un 



