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ooption quand on s'en donne /• points, on diL que res groupes forment une 

 invnlitlion d'ordre n et d'espèce k. 



» Une involution est dite rationnelle quand ses groupes sont ceux que dé- 

 coupent, sur la courbe considérée, des courbes algébriques appartenant 

 à un même système linéaire. 



» On peut établir que les involutions dont l'espèce surpasse un sont : 

 i** ou des involutions dont l'espèce est égale à l'ordre, c'est-à-dire dont 

 chaque groupe est formé par n points arbitraires de la courbe fixe; i° ou 

 des involutions rationnelles. 



» Les involutions non rationnelles (dont l'espèce est inférieure à l'ordre) 

 sont d'après ce'a d'espèce un; si une courbe C admet une involution de 

 cette nature, elle est liée à une courbe de genre inférieur C de telle sorte 

 qu'à un point de C corresponde un point de C et qu'à 'un point de C 

 correspontlent n points de C : les groupes de n points ainsi définis sur C 

 forment l'involution. 



» Cela posé, soit S une surface algébrique sur laquelle existe une série 

 simplement infinie de courbes unicursyles d'ordre N, se coupant deux à 

 deux en un point mobile. A chaque courbe unicursale, on peut faire cor- 

 respondre un point d'une courbe algébrique, C, et réciproquement. Les 

 points de C qui correspondent aux courbes unicursales passant jnr un 

 même point de S forment évidemment sur C les groupes d'une involution 

 d'espèce deux; cette involution est donc rationnelle ou d'ordre deux. Si 

 elle est rationnelle, ses groupes sont découpés sur C par un système li- 

 néairede courbes dont l'équation renferme linéairement deux paramètres, 

 \ et ty. ; on peut donc dire qu'à un système de valeurs de \, \j. correspond 

 un groupe de l'involution et par suite un point de S, et réciproquement. 

 La surface S est donc représentable point par point sur le plan. 



» Si l'involution est d'ordre et d'espèce deux, à un point de S corres- 

 pondent deux points de la courbe C. et réciproquement; si l'un des deux 

 points de C est fixe, le point correspondant décrit, sur S, une courbe 

 unicursale, et, pnr suite, la courbe G est elle-même unicursale. Si donc 

 on désigne par t^ et /j les arguments de deux points de C, et si l'on pose 

 /, + /a = 1, /, t.-, = ;y., on voit qu'à chaque système de valeurs de \, [j. cor- 

 respond un point de la surface S, et réciproquement, ce qui donne la 

 même conclusion que plus haut. 



» En étudiant de plus près le mode de représentation de S sur le plan, 

 on arrive, dans tous les cas, à cette proposition : 



» Si l'on peut tracer sur une surface algébrique une série simplement infinie 

 de courbes unicursales, de même ordre, N, se coupant deur à deux en unpoint 

 c. R.,,893. i" Semestre. (T. CWI, N- 24.) I 7^ 



