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mobile, la surface est représenlable point par point sur le plan. Elle admet une 

 série linéaire doublement infinie de courbes unicursales d'ordre N se coupant 

 deux à deux en un point, et dont fait partie la série primitive; ces courbes ont 

 pour images les droites du plan, et les sections planes de la surface ont-, pour 

 images des courbes quelconques d'ordre N. 



» L'ordre de la surface est donc inférieur à N*. Pour le cas de N = 2, 

 on a le théorème suivant : 



» Toute surface sur laquelle on peut tracer une série simplement infinie de 

 coniques, de telle sorte qu'il passe plus d'une conique de la série par chaque 

 point de la surface, est une surface de Sleiner ou une dégénérescence de cette 

 surface. 



» On peut déduire du théorème général que toute surface engendrée 

 par une série de courbes unicursales de même ordre, se coupant deux à 

 deux en Je points mobiles, esl rationnelle, c'est-à-dire que les coordonnées 

 d'un de ses points sont des fonctions rationnelles de deux paramètres. 



» D'ailleurs on établit directement que cette surface est représenlable 

 point par point sur le plan dans le cas où les courbes unicursales généra- 

 trices n'ont pas de point singulier mobile, en dehors des lignes multiples 

 de la surface ; par exemple toute surface engendrée par des cubiques 

 gauches, se coupant deux à deux en un ou plusieurs points, est représen- 

 table point par point. Des considérations d'une autre nature permettent 

 d'obtenir le mode de représentation : ainsi la surface engendrée par des 

 cubiques gauches se coupant deux à deux en k points (k^2 et A'< 4) est la 

 surface réglée unicursale d'ordre 6 — k. Si k dépasse 4> la surface n'existe 

 pas. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur quelques surfaces avec plusieurs modes de génération. 

 Note de M. G. Sciikffers, présentée par M. Darboux. 



(c Un des problèmes les plus intéressants de la théorie des surfaces a 

 une connexion très étroite avec une question de la théorie des systèmes de 

 nombres complexes. C'est le problème suivant : 



)) Trouver toutes les surfaces qui peuvent être engendrées par le mouvement 

 de translation d'une courbe c et aussi par le mouvement de translation d'une 

 autre courbe c' . 



» Il faut ajouter, il est vrai, que chaque surface engendrée par le mou- 

 vement de translation d'une courbe c admet d'elle-même une deuxième 

 génération de même nature, parce que tous les points de c ont des trajec- 



