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toires congruenles et de même position dans l'espace. Dans le problème 

 énoncé il est bien entendu que la courbe c' ne doit pas être une de ces 

 trajectoires. 



)) Le problème a été entièrement résolu par M. Sophus Lie, mais la so- 

 lution n'est pas encore publiée. Je me borne à dire que l'éminent géo- 

 mètre résout le problème au moyen d'intégrales abéliennes relatives aux 

 points d'intersection d'une courbe de quatrième degré avec une droite 

 mobile. M. Lie, lui-même, a remarqué quelquefois que l'introduction de 

 e^, e- , e~ comme coordonnées au lieu des coordonnées ordinaires ce, y, z 

 conduit à un autre système intéressant. Dans le problème énoncé, c'est le 

 groupe de toutes les translations de l'espace qui joue le rôle dominant. 

 Ici c'est le groupe xp, yq, zr. 



» Maintenant je veux faire remarquer que ce groupe nouveau est celui 

 d'un système (r,, e.,, e^) de nombres complexes dans lequel on a 6^'= e,, 

 e^ 6/1^=^ o (i ^ /c). Au lieu des translations dans le problème original, nous 

 avons des transformations de ce nouveau groupe, et ce sont des multipli- 

 cations par de certains nombres du système. Les co' translations infinitési- 

 males auxquelles la courbe c était soumise sont donc remplacées par co' 

 points d'une courbe dans l'espace du système. 



» En généralisant cette considération, nous arrivons au problème sui- 

 vant : 



» Étant donné un système de nombres complexes (e,, ..., e„), trouver 

 in courbes c, , . . . , c^, y, , . . . , y^ dans V espace à n dimensions du système avec 

 la propriété suii'ante : si l'on prend n points quelconques respectivement sur les 

 n courbes c,, ..., c,„ c'est-à-dire n nombresa^, ..., a„, ilya toujours n points 

 y.,, .,., a„ sur les n courbes y ^, ..., y„ tels que le produit a,a.^,..a„ soit 

 égal au produit a, a, . . . a„. 



» Je veux montrer que ce problème est résolu pour chaque système 

 commutatif. En effet, selon un théorème de M. Lie, on peut réduire chaque 

 groupe simplement transitif de transformations échangeables à un groupe 

 de translations. Nous revenons donc au problème des surfaces de transla- 

 tions douées de plusieurs modes de génération, généralisé pour un espace 

 quelconque." Or, M. Lie a résolu aussi cette question. Par conséquent 

 notre problème est résolu pour tous les systèmes dont la multiplicité est 

 commutative. Dans le cas de trois unités, par exemple, il y a, outre le sys- 

 tème déjà indiqué, trois autres systèmes commutatifs. Pour tous les trois 

 noire problème est donc résolu. 



» Il s'agit de le résoudre aussi |jour les systèmes non commutatifs. 



