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Bien entendu, il peut toujours être énoncé géoméiriquement, comme le 

 problème des surfaces de translation. Pour trois unités il n'existe qu'un 

 seul système non commutatif («,, e.,, e^') où l'on a 6,62=^36,^6,, 

 e\ = e.,, ë\ = 63, tandis que les autres produits sont nuls. Cela nous con- 

 duit au problème suivant : 



» Trouver ^i .3 fonctions A,-, B,-, C,- (« •= i, '2, 3, 4)> A.,-, B/, C,- dépendant 

 d'une seule variable /,, c/e telle manière que Ton puisse vérifier les équations 



jA.(/,)B,(^) + A,(/,)C,(f,) = A3(^,)B,(^.0 + A,,(/,)^^.('.)' 

 (.) B,(/,)B,(/,) = B3(/3)B,./,,%), 



( C,(/,)C,(/,)=C3(/3)C,(/,), 



en considérant /, et t^ comme certaines fonctions de l, et t.^. 



» Le problème de M. Lie peut être exprimé par des formules plus 

 simples : 



j A,(/,)A,(/,) = A3(/3)A.(/0. 



(2) ' B,(/,)B,(/,) = B3(/3)B,(/,), 



\C,{t,)C,{l^^ = C,{t,)C,{t,). 



» On sait que l'on en connaît ce'- solutions aussitôt que l'on en a une 

 seule, parce que le plus grand groupe dans lequel le groupe xp,yq, zr est 

 contenu comme sous-groupe invariant, a douze paramètres. Comme le pro- 

 blème (i) n'appartient pas à un seul groupe, mais aux deux groupes réci- 

 proques du système (e,, e.,, 63), la conclusion est un peu modifiée pour ce 

 problème. On peut montrer ceci : 



)i Si l'on connaît une solution du problème (i), on en connaît co'". On les 

 obtient en effectuant le groupe suivant 



'^'jÂ.^^'àc;' --^^"^at, + ^^^' ^'^' ^'^dx:' 



à/ |. 0/ df df df df 



'°SB, (a, ^£ + B, ^^ h- c, iQ + logB. (aJjv ^ B, .< + C. iC 

 l°SC. (a. I; -H B, f; H- c, I;) + loge, (a, ,<V H- B. I- -H >:.f-), 



sur A, , B, , C, , Ao, B^, C^ et en même temps le groupe écrit a;'ec les indices à, 4 

 au lieu de i, 2 sur \..^, B3, C3, Vi, B., , C^. » 



