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 où Y et y' sont les courbures géodésiques au point tn des lignes u = const., 

 V = const. 



)) Si Y = Y ' '^ courbe C,„ est une slrophoïde ordinaire et l'élément li- 

 néaire de la surface prend la forme 



ch- = {u + v){dir + dv'-) 



que M. Lie a rcncoi.trée dans ses recherches sur les lignes géodé- 

 siques ('). 



M Si la surface est applicable sur une surface de révolution, la courbe €,„ 

 est un cercle passant par le point m. Pour les surfaces de révolution elles- 

 mêmes, ce cercle est normal au méridien et coupe l'axe de révolution. 



» On peut appliquer à une surface quelconque le procédé que nous 

 venons d'employer. A tout groupement des géodésiques de cette surface 

 il correspondra dans chaque plan langent une courbe C,„. Au sujet de ces 

 courbes, ou peut se poser la question suivante : 



» Existe-t-il des surfaces pour lesquelles ou puisse grouper les géodésiques de telle 

 manière que les courbes correspondantes à ce groupement aient une propriété donnée 

 d'avance, par exemple qu'elles soient transformables l'une dans l'autre par des trans- 

 formations données? 



» Nous examinerons ici le cas le plus simple de ce problème, en suppo- 

 sant que la figure contenant le point m et la courbe C,„ soit la même pour 

 tous les points de la surface. Oi\\.Yow\e i\uQ les surfaces à courbure conslanle 

 satisfonl seules à la question; les courbes correspondantes dépendent de deux 

 paramètres et peuvent être déthiies de la manière suivante. Considérons 

 dans le plan tangent le cercle R,„ de centre m et de rayon a ( — a~- dé- 

 signant la courbure de la surface); toute courbe C,„ est l'inverse par rapport 

 au cercle R,„ d'une conique possédant avec le cercle un contact du troisième 

 ordre. 



)) Comme on pouvait le prévoir, parmi les courbes C,„ se trouve le 

 cercle R,„ bien connu dans la théorie des surfaces à courbure constante ('■'). 

 On trouve aussi les tangentes au cercle Y\.,n et les cercles R^„ passant par le 

 point m et tangents au cercle R,„. L'existence de ces cercles R'„, jointe au 

 résultat trouvé plus haut, met en évidence le fait que les surfaces à cour- 



(') Voir Lie, Vnlersiichuni^en iïber geoddtische Linicii {Math. Annal., t. XX, 

 p. 389). 



(^) FojV DARBOt'x, f.eçons sur la Théorie générale, t. III, p. !\-2o. 



