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» Il existe, entre ces quantités, six relations homogènes que l'on obtient 

 par l'élimination des paramètres 1, [j. entre les équations. Maintenant on 

 peut toujours faire en sorte que ces six relations soient quadratiques, et 

 l'on en déduit ensuite quatorze autres relations quadratiques linéairement 

 indépendantes entre elles et des précédentes. 



» En combinant linéairement les vingt formes quadratiques ainsi obte- 

 nues, on trouve que, si l'on pose 



F = A, (Y; - XZ, ) + A,(Y;; - XZ.) + 2B(Y, Y, -~ XZ) 



+ 2B,(ZZ. — Y,T,)H-2B,(ZZ,-Y,To) + 2C(T,T,-ZT) 

 -1- 2C,(Y,Z - Y,Z,)-H 2C,(Y,Z - Y,Z,)-4- 2D,(XT, - Y,Z,) 

 4- 2D,(XT, - Y,Z,) 4- 2E,(Z,T - T;) H- 2E,(Z,T - T;) 

 + 2G,(Y,T-TZ,)-H2G,(Y,T-T.Z,) + 2H,(ZT,-Z,T,) 

 + 2H,(ZT,-Z,T,)-f-H(XÏ-Z^) + R(Z,Z,-Z=') 

 + 2R, (Y, T, -- Z') 4- 2R, (Y,T, - Z*). 



,) La forme F s'évanouit identiquement lorsque l'on y remplace les 

 quantités X,, Y,, Y2, ... par leurs valeurs (i). Cette forme F comprend 

 20 coefficients; si l'on donne à ces coefficients des valeurs arbitraires, la 

 forme F pourra être décomposée en 9 carrés 



E; + E^ + ... + 3:3, 



où les Ei sont des fonctions linéaires homogènes des X,, Y,, Yj, c'est- 

 à-dire des polynômes /i. Maintenant, on pourra disposer des arbi- 

 traires, de telle sorte que la forme F soit réductible à 8, 7, 6, 5, 4, 3, 

 2 carrés, et il suffira d'effectuer la décomposition en carrés de F pour ob- 

 tenir la solution générale du problème d'Algèbre que je m'étais proposé. 

 La discussion détaillée de la décomposition en carrés de F est très labo- 

 rieuse, mais on peut en déduire plusieurs des solutions immédiates, 

 comme je vais le montrer. 



» 2. Prenons, par exemple, tous les coefficients nuis, sauf A, =- a-, 

 A2 =; i^, B = ab, K = — - H ; nous aurons 



F=(aY, -I-6Y,)-- X{a-Z,+-b-Z,-\-2aljZ -HT)- HZ.Z, 



0. R., 1889, j- Semestre (T. CIX, N° U. 4? 



