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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination des intégrales de cer- 

 taines équations aux dérivées partielles par leurs valeurs sur un contour. 

 Note de M. É. Picard, présentée par M. Darboux. 



« On sait que, dans des cas très étendus, une intégrale d'une équation 

 linéaire aux dérivées partielles se trouve déterminée par ses valeurs le 

 long d'un contour fermé, quand on la suppose continue ainsi que ses dé- 

 rivées à l'intérieur de ce contour; j'ai donné précédemment (^Comptes 

 rendus, décembre 1888) un théorème général à ce sujet. La méthode dont 

 nous avons fait usage, et qui est en réalité une méthode d'approximations 

 successives, peut être employée avec succès pour certaines équations non 

 linéaires; c'est ce que je me propose d'indiquer ici, en considérant deux 

 équations particulièrement simples et très intéressantes pour la théorie 

 des surfaces. 



1. Prenons l'équation 



où A représente une fonction continue de x et y, que nous allons, dans 

 tout ce qui suit, supposer positive dans la région du plan où restera le 

 point (^x,y). On peut d'abord démontrer qu'il ne peut y avoir deux inté- 

 grales de cette équation, continues ainsi que leurs dérivées dans un con- 

 tour C, et prenant sur ce contour^la même succession de valeurs. Suppo- 

 sons, en effet, qu'il existe deux intégrales m, et u., ; la différence u, — Wj 

 s'annule sur C, et si elle ne garde pas un signe invariable à l'intérieur de 

 l'aire, on peut fractionner celle-ci en plusieurs parties sur le bord des- 

 quelles elle s'annulera en gardant le même signe à l'intérieur. Soit T un tel 

 contour ; on aura 



(2) A(m, - u,) = A(e". - e"0 (^en posant Aw = ^ + — )• 



» Or, si l'on considère l'équation 



Av-h(f(x,y) = o, 



il est bien connu que l'intégrale v de cette équation, s'annulant sur un 

 contour T, est donnée par la formule 



v = ~Jj(f(l, •o)G(;, ■n,a;,y)dc,dri, 



