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cette intégrale double étant étendue à l'aire limitée par r, et G désignant 

 la fonction de Green relative à r et au point {x, y)\ il en résulte que, si 9 

 est positive dans V, la fonction v sera positive. Revenant à l'équation (2), 

 nous voyons que, si m, est inférieure à «^ dans Y, m, — u.^ devrait être posi- 

 tive, contradiction qui démontre le théorème. 



» Ceci posé, cherchons à obtenir la solution prenant une succession 

 continue donnée de valeurs sur C. On peut évidemment supposer que ces 

 valeurs se réduisent à zéro. Il suffira, en effet, de remplacer u par u^ + u, 

 u„ satisfaisant à l'équation de Laplace et prenant les valeurs données sur 

 le contour; dans la nouvelle équation le coefficient A aura seulement une 

 valeur différente, mais toujours positive. Considérons alors les équations 

 suivantes 



AS, =^A, AS, = Ae*', ..., AS„=Ae*"-', 



» On forme, comme il a été rappelé plus haut, la solution de la première 

 qui s'annule le long de C; S, obtenu, on intègre la seconde équation dans 

 les mêmes conditions, et ainsi de suite. 



» Les S à indices impairs forment une suite croissante et tendent vers 

 une certaine limite représentant une fonction u de x et y; les S à indices 

 pairs forment une suite décroissante et tendent vers une limite v. Les fonc- 

 tions u et r s'annulent sur C et satisfont aux deux équations 



Aw ^ke", Ac — \e". 



)) Le cas intéressant pour l'intégration de l'équation (i) avec la condi- 

 tion aux limites indiquées est celui où u el i' coïncident. Or c'est ce qui 

 arrivera, non pas nécessairement en général, mais si le contour C est suffi- 

 sammenl petit. On obtient, dans ce cas, l'mtégrale de l'équation (1), s'an- 

 nulant le long de C, représentée par la série suivante à termes alternative- 

 ment positifs et négatifs 



S, +(s, -S,) + (S3-S,) + .... 



» Le problème proposé n'est résolu par ce qui précède que pour un 

 contour suffisamment petit; nous allons passer maintenant à un contour 

 quelconque. Montrons, en effet, que l'on peut appliquer au problème ac- 

 tuel une méthode ayant quelque analogie avec le procédé alterné employé 

 par M. Schwarz dans le cas de l'équation de Laplace. Il suffît de montrer 

 que le problème, étant traité pour deux contours ayant une partie com- 

 mune, pourra être résolu pour le contour limitant extérieurement l'en- 



