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semble des deux aires. Soient C et r les deux contours; désignons par a la 

 partie de C comprise dans r, et par b la partie extérieure; de même appe- 

 lons « la partie de F comprise dans C, et par p la partie extérieure. Toutes 

 les fonctions que nous allons considérer vont satisfaire à l'équation (i). 



» Soit a, la fonction déterminée dans C et s'annulant sur cette courbe; 

 nous formons alors la fonction t^, déterminée dans T s'annulant sur ^ et 

 prenant sur a les mêmes valeurs que lt^. Revenant maintenant au premier 

 contour, formons la fonction u.^ déterminée dans C, s'annulant sur b et 

 prenant sur a les mêmes valeurs que Vt, et continuons ainsi indéfiniment 

 en passant successivement d'un contour à l'autre. Nous obtiendrons de 



cette manièi'e deux suites a,, u^, ..., m„, ..., et t», , t^^» •••> ^n> O'i établit 



que u,^ et v,^ tendent respectivement vers deux limites u et c déterminées 

 l'une dans C, l'autre dans Y ; u s'annule sur b et v sur p. De plus, dans l'aire 

 commune aux deux contours, on a w ^i^ v. La recherche de l'intégrale de 

 l'équation (i) prenant des valeurs données sur un contour se trouve donc com- 

 plètement effectuée par l'analyse qui précède. On ne doit pas oublier que le 

 contour considéré est tracé dans une région du plan où la fonction conti- 

 nue A ne devient pas négative. 



» 2. Une méthode analogue peut être appliquée à l'équation plus géné- 

 rale 



AM=:Ae"- Be ". 



» Nous supposons que A et B sont des fonctions continues et positives de 

 X et j, dans la région du plan où va rester le point (j?, y), et que de plus 

 A >• B. On démontrera, comme plus haut, qu'il ne peut exister deux inté- 

 grales prenant les mêmes valeurs sur un contour C. Cherchons alors l'in- 

 tégrale de l'équation s'annulant sur C. Nous formons les équations 



AS, =A-B, AS, =Ae''— Be-*', .... AS„ = Ae^"- - Be-"*"- 



» Si pour tous les points de l'aire on a 



(3) e-''>l^ 



les S à indices pairs et les S à indices impairs auront respectivement deux 

 limites u et r. Si le contour est suffisamment petit, l'inégalité (3) sera vé- 

 rifiée, et l'on aura u =^ v. I^e problème proposé se trouvera alors résolu 

 pour de tels contours, et l'on passera encore à un contour quelconque 

 tracé dans la région considérée du plan au moyen d'une extension du pro- 

 cédé alterné. " 



