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MEMOIRES PRESENTES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les invariants de certaines équations diffé- 

 rentielles et sur leurs applications. Mémoire de M. R. Liouvii.le, présenté 

 par M. Darboux. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Bertrand, C. Jordan, Darboux.) 



« Les équations différentielles qui sont l'objet de ce travail sont celles 

 qui peuvent être représentées ainsi 



(i) dxd-y — dyd^x -\-a, dy^ + Za.^dy-dx + 'àa.^dy dx'^ + a^dx'^ = o, 



a,, a.,. . . ., «4 étant des fonctions quelconques des deux variables x et y. 

 Dans une Note déjà ancienne {Comptes rendus, 28 novembre 1887), j'avais 

 fait connaître plusieui's invariants de ces équations pour les transforma- 

 tions de cette espèce, 



(2) x'=f{x,y), r' = ç(a-,j), 



mais il restait à trouver les modes de construction propres aux cas excep- 

 tionnels et à classer ces divers cas, d'autant plus dignes d'examen qu'ils 

 constituent en quelque sorte les singularités du type d'équations consi- 

 déré. 



» Pour faire, à ce point de vue, l'étude complète des équations (i) et 

 d'ailleurs aussi dans les premières recherches que j'avais entreprises sur 

 leurs invariants, j'ai eu surtout à faire usage des remarques suivantes. 



» X et y étant deux variables, liées entre elles par une relation qui n'est pas 

 donnée, soient ::,pe\.q trois inconnues, fonctions d'une seule indépendante, 

 assujetties à vérifier ce système d'équations linéaires 



/ dz — pdx — q dy = o, 



(3) dp^{Vp^Q;'q^K"z)dx + {Vp+(^q + K'z)dy = o, 

 ( dq + (P> + Q<7 -^ ^z)dx H- {Vp 4- Qy 4- ^z)dy = o, 



dans lequel P, Q, . • ., R" sont des lonctions déterminées de x et de j. 



» Au système (3) se rattache d'une façon invariante une équation de 

 même forme que (i). Si l'on voulait en eOét isoler :;, il faudrait, en diffé- 

 rentiant, former une équation linéaire dont l'ordre est, en général, le troi- 



