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sième : il s'abaisse au second pour un choix particulier de la relation entre 

 X ely, lorsque l'équation suivante 



(4) 



+ (oP' - Q) (if clx + (P" - 2Q') r/j dx- - Q" dx^ = o 



est supposée satisfaite et cette propriété subsiste évidemment après l'une 

 des transformations (2). Si donc les conditions 



(5) P = a,, 2P'-Q = 3«,, P"-2Q'=3«3, -Q" = «, 



sont remplies, l'équation (i) est invariablement liée au système (3). 

 J'ajoute qu'on peut compléter de plusieurs manières l'ensemble des for- 

 mules (5) par des relations invariantes où n'entrent pas les coefficients 

 rt,, «2. •••' à^, et cela de telle façon qu'à chacune des équations (i) réponde 

 un système linéaire déterminé, semblable à (3). Je dis alors qu'il est 

 associé à l'équation proposée et à cette notion se rattachent en substance 

 tous les résultats trouvés. 



» Ceux-ci sont de plusieurs sortes. Le premier point était de séparer 

 les cas vraiment remarquables entre lesquels se partagent les équations 

 du tvpe (i) et d'en indiquer les canctères précis. A cet effet, il a jiaru né- 

 cessaire de distinguer parmi les invariants deux catégories, ceux qui s'ex- 

 priment en fonction explicite de a,, . . ., «j et de leurs dérivées et auxquels 

 acte réservé le nom d'invariants proprement dits, ceux qui, donnés par des 

 quadratures ou des intégrations, ne peuvent être calculés, a priori, sans 

 que les relations entre a,, ..., a, et les variables x et y soient connues 

 d'avance. Ainsi, {>„ étant un invariant proprement dit, de poids égal à m, 

 l'expression 



dxdy, 



J k Jk 



dans laquelle h et k sont des constantes quelconques, est invariante, mais 

 appartient à la seconde catégorie. 



)) La discussion générale des équations du type (i) a pu être faite à 

 l'aide des seuls invariants proprement dits, sauf deux cas particuliers, qui 

 ont été traités d'une autre manière. Les distinctions exigées par cette 

 méthode constituent l'un des résultats qu'on voulait obtenir. Elles don- 

 nent lieu à une application immédiate, la résolution du problème suivant : 



» Étant donnée une équation du type (i), reconnaître s'il existe une sub- 



