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 stitulion 



(6) X = /{x,y), Y=<f{x,y), 

 telle que, dans Véqualion transformée 



(7) d^d-Y ~dYd'X-h A, dY' + 3 A, r/Y= dX ^ 3 A, dY d\- + Â,r/X^' = o, 



les coefficients k^, . . ., h^ ne renferment point l'une des variables et, quand 

 l'existence de la substitution (6) est démontrée, la calculer avec l'équation (7) 

 correspondante . 



)) La solution de ce problème donne une classe étendue d'équations dif- 

 férentielles dont on sait abaisser l'ordre par un changement d'inconnue 

 fort évident. 



» Une seconde application concerne les équations réductibles à cette 

 forme simple 



(8) g+x.y-' + x.j^o, 



où X,, X désignent des fonctions arbitraires de x. Il est facile de prouver 

 que le nombre m est caractéristique et ne change par aucune des transfor- 

 mations (lî); cependant la proposition suivante a pu être établie : 

 » A chacune des équations (8) il en répond une autre, 



S +xy~+x;y=o, 



dans laquelle X',, X' sont Uces à X,, X par des relations connues et dont les in- 

 tégrales se déduisent de celles qui appartiennent à la proposée ou réciproque- 

 ment. Les équations (8) pem'ent être distinguées sans peine à travers toutes 

 leurs transformations . 



» La dernière partie du travail est relative aux lignes géodésiques re- 

 présentées par l'équation (i); elle a pour but d'établir les propositions 

 énoncées dans une Note antérieure (^Comptes rendus, ti mars 1889). 



» Il convient d'observer que la méthode utilisée dans ces recherches, 

 et qui repose sur l'emploi du système linéaire associé à l'équation (r), s'ap- 

 plique sans modification essentielle à certains systèmes d'équations diffé- 

 rentielles, qui renferment des inconnues en nombre quelconque. De même 

 que l'équation (i) contient celle des lignes géodésiques tracées sur une 

 surface arbitraire, ces systèmes comprennent comme cas particulier les 

 équations du mouvement d'un ensemble de points soumis à l'action d'un 



