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on jieut trouver une tonction A de x et une autre B de y, de sorte qu'on 

 ait l'identité 



= 2B^ + 3B'^ +B">.. 



» Si l'on prend pour variables nouvelles 



le ds'^ se trouve ramené à la forme de Liouville. 



» Supposons que le ds'^ ait été donné sous la forme de Liouville 



\P^^{x,)-\i,{y,)\dxdy, 



(.2) x,= ^^, j-, = — -^, 



et qu'il soit susceptible de prendre une seconde forme de Liouville obtenue 

 en adoptant pour variables nouvelles les expressions x' , y'. 

 » L'équation (i) devient alors 



((A, - B,)(A"-B") + (A - B)(A", - B",) 

 ^^) + 3 (A'-B')A',-^(A'+B')B', = 0. 



' V2 V2 



» On voit figurer dans cette équation les fonctions A,, B, qui con- 

 courent à former le ds- donné, et puis les fonctions A, B, auxquelles je 

 donne le nom de coefficients de Iransformalioii, car elles servent à faire 

 passer d'un type de Liouville à un autre. 



» Ceci posé, reportons-nous à l'équation (3); on observera que x,y 

 d'une part et a;,, y^ d'autre part sont dans des relations réciproques, car 

 de (2) on tire 



de plus, les fonctions A, B de a;, j d'une part et les fonctions A, , B, de a?, , 



(') L'équation (i) a été obtenue par M. G. Darboux dans ses Leçons su/- la Géomé- 

 trie, t. II, p. 209. 



