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 y, d'autre part interviennent symétriqnement dans l'équation (3). Cette 

 équation exprime donc tout à la fois que les deux ds- 



{k,-B,)dx dy, ( A - B) dx, dy, 



appartiennent de plusieurs façons au type de Liouville. Je représente par 

 M toute surface dont le ds^ possède cette propriété, et je puis alors énoncer 

 le théorème suivant : 



» Théorème I. — Soient (A, — B,) dx dy un ds^ de sur/ace SX; A et B un 

 couple de coefficient de transfotmation de ce ds"^ ; le ds^ suivant 



(A-B)dx,dy, 



appartient également à une surface M, ei A,, B, constituent un couple de coef- 

 ficients de transformation de ce nouveau ds" . 



» La relation entre ces ds'- est réciproque; je les appelle ds- conjugués. 



» Théorème H (*)• — On peut ajouter une même constante h aux coeffi- 

 cients de transformation d'un ds'^, sans r/u' ils cessent d'être les coefficients de 

 transformation de ce ds-. 



» Considérons les ds- compris dans la formule 



A-(A,-B,) / cl.v] dy\ 



^^> (A,+ /i)(B,+ /0 VAi + Z' B,+ i 



où k et h sont des constantes. Toutes les surfaces convenant à ces ds^ se 

 correspondent pomt par point avec conservation des géodésiques; ou, 

 comme on le dit, elles sont représentables géodésiquement les unes sur les 

 autres. Nous dirons des ds"^ de la forme (/j) qu'ils forment une famille. 



» Théorème III. — Les ds- conjugués d'un ds- de surface hh. constituent 

 une famille de ds- . Tous ces ds^ conviennent à des surfaces M. 



)> Théorème IV. — Si un ds- d'une famille convient à une surface M, il 

 en est de même de tous les ds^ de la même famille. 



» Je ne développerai pas toute la suite de propositions que l'on peut 

 encore déduire de ces théorèmes. 



» Je ferai seulement observer que, d'un ds- de surface AV. donné, on peut 

 immédiatement déduire, sans calcul, deux familles de ds^ de surfaces M, 

 savoir : une famille dont fait partie le ds^, et la famille des ds^ conjugués. 



(') Ce théorème, qui est une conséquence évidente de ce qui précède, résulte aussi 

 d'une remarque faite par M. Darboux (loc. cit.). 



