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GÉOMÉTRIE. — Sur les éléments linéaires doublement Iiarmoniques . 

 Note de M. L. Raffy, présentée par M. Darboux. 



« M. Darboux a signalé aux géomètres le problème difficile qui consiste 

 à trouver tous les éléments linéaires réductibles de deux manières à la forme 

 considérée par Liouville (éléments linéaires doublement harmoniques). 



» Ayant obtenu, peu de temps après M. Darboux, tous ceux de ces élé- 

 ments linéaires qui correspondent à des surfaces applicables sur les sur- 

 faces de révolution, j'ai donné mes résultats dans une Note insérée an 

 Compte rendu de la séance du ii mars dernier, et aussitôt j'ai abordé le 

 problème général en suivant toujours la même voie. Il s'agissait de trouver 

 les formes les plus générales des quatre fonctions X de a, Y de j', ç de 

 x-\-y&\.f>\ex— y qui satisfont à l'équation indéterminée 



(i)(X"-Y")(?-/) + 3(X'-Y')f-3(X'-4- ¥')/'+ 2(X-Y)(o"-/") = o. 



» Je remarquai aussitôt, entre autres propriétés de cette équation, son 

 évidente réciprocité : ayant trouvé quatre fonctions X(a-), Y(r), (d{x-[- y), 

 f(^x — y) qui la vérifient, on en obtiendra une nouvelle solution en consi- 

 dérant les relations 



^,{ix) = \.{x), ./,(-2y) = Y(y), 



et prenant pour (p, y", X et Y respectivement les fonctions ç, (a; -I- y), 

 /,{x —y), 'f(^) et/(j'). Mais je n'ai pas cru devoir faire connaître mes 

 premiers résultats, ni ceux que j'ai obtenus depuis, comme se rapportant à 

 un sujet proposé par l'Académie. I.a réciprocité de l'équation (i) ayant 

 fait le point de départ d'une Communication récente de M. Kœnigs ('), 

 je vais indiquer une autre propriété de cette équation. 



» Étant donné l'élément doublement harmonique 



f (p(a;' + y ) —/(x' —y')] dx' dy', 



SI l'on connaît deux transformations distinctes, savoir 



j ilr' 7 ci y' , .^ dx' j \dy' 



dx := — -î dv ^ -7^ et «ç = -=, r/r, = -~, 



(') Séance du 7 octobre. 



G. R., 1889, 2- Semestre. (T. CIX, N» 10.) 



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