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qui lui donnent, l'une la forme harmonique S, l'autre la ,nrme harmonique 1, 

 on passera de S à 1 en posant 



» On a donc, en adjoignant à X et à Y ainsi définis les valeurs de ç et 

 de f qui figurent dans S, une nouvelle solution de V équation (i). 



» Appliquons ce principe à l'élément linéaire des surfaces à courbure 



constante 



dx' dy' 



{^'-y'T-' 



» Il acquiert la forme harmonique (tp — f)dxdy, où rp et / sont des 

 fonctions elliptiques, par la transformation 



, dx' , dv' 



dx = , j dy = 



sjR{x') ' v/R(y) 



R étant un polynôme du quatrième degré entièrement arbitraire ('). En 

 désignant par R, un autre polynôme de même degré, entièrement arbi- 

 traire, on arrive encore à la forme harmonique ((p, — /,) â?E dr, par la trans- 

 formation 



,,. dx' , dv' 



dr 



" \/R,(^') V'^.(.r') 



)) D'après ce qui précède, les fonctions ç et /forment avec 



^^K^) — Y{{x') ^^ R(j') 



un système de solutions de l'équation (i). On voit que X et Y dépendent 

 de neuf constantes arbitraires. La réciprocité de l'équation (i) donne im- 

 médiatement une autre solution oii les fonctions cp et y dépendent de 

 neuf constantes. 



)> Ces dernières expressions jouent un grand rôle dans le problème gé- 

 néral posé par M. Darboux. On peut dire (abstraction faite des surfaces à 

 courbure constante et des surfaces applicables sur les surfaces de révolu- 

 tion) qu'elles en fournissent la solution complète. Elles interviennent 



(') Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. II, p. 209. 



