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demie des Sciences de Suède, j'ai donné l'expi-ession des invariants d'une 

 équation différentielle linéaire homogène sous une forme nouvelle et qui 

 n;e parait présenter un complément assez important aux recherches de 

 MM. Fuchs, Hamburger et Poincaré. (Voir surtout. 4r/a mathemalica, t. IV, 



p. 2 12.) 



Posons 



[\{x) = (j,- - a-,)'/, (x - ay^ ...{x - a,,)'',, 



et soit 



P,.(^-) 



d" y 

 dx" 



p,(./) f/''-'l 



+ ^rii„'^' 



Po(a-) rfic''-' 



p«(.^) 



l'équation différentielle proposée. 



)) Soit x„ une valeur de x qui ne coïncide avec aucune des valeurs 

 singulières de x, a,, ..., a^, et faisons |)asser par le point x^ une ligne L 

 continue fermée et ne se coupant pas elle-même. 



» Désignons de plus par [\{ji' — x„), V.,(x — Xg), . . ., l\,(x — a:„) des 

 séries de puissances représentant un système fondamental d'^intégrales de 

 l'équation différentielle considérée aux environs du point Xg. Si, en par- 

 tant de ce point, on parcourt la ligne fermée L, quand on revient de nou- 

 veau au point de déj)art, les éléments P, (x- — j-„), ..., P„(a; — j"(,) se trans- 

 forment en nouveaux éléments P, (x — a„), . . ., V„(x — Xg), qui sont reliés 

 aux éléments primitifs pai- des relations de la forme 



P,„(a; — Xg) = a,,,, P, {x — a-„) + a,„, P, (x - Xg) +• 



(m = 1,2,..., n), 



Ki-^ 



^o) 



les quantités a,,,,, . . ., a,r.„ désignant des constantes qui ne dépendent ni de a; 

 ni même de la forme de la ligne L; en tant que cette ligne varie, mais de 

 manière à ne jamais passer par un des points singuliers a,, . . . , cij,. 

 » Si l'on écrit le déterminant 



a.,., 





= co" -i- V.co" - ' ^ . . . + V„_, co -h V,„ 



chacun des coelficients V,, . . ., \„ est, comme on sait, un invariant qui, 

 non seulement reste invai'iable quand la ligne I^ se déforme sans pourtant 

 passer |)ar un |)oint singulier, mais qui, de plus, est indépendant aussi 

 bien de a,, que du choix du système fondamental d'intégrales. 



