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mais il saute aux yeux que ce corollaire sert de transition entre mes théo- 

 rèmes I et'III, et il est bien facile de deviner que c'est ainsi que j'ai ob- 

 tenu ce dernier. 



» M. L. Raffy déclare qu'il n'a pas publié ses premiers résultats comme 

 se rapportant à un sujet proposé par l'Académie. Il oublie que, dans un 

 numéro récent du Bulletin des Sciences mathématiques, à la fin d'un article 

 principalement consacré au cas déjà résolu des surfaces de révolution, il a 

 indiqué d'autres cas, simples il est vrai, mais nouveaux. Aussitôt que j'ai 

 eu connaissance de cette publication, j'ai cru devoir publier les proposi- 

 tions qvii constituent la base de ma méthode, dont je suis en possession de- 

 puis le mois de janvier et qui m'a conduit depuis à la solution du problème 

 proposé. 



» A la fin de ma Note du 7 octobre, j'ai fait une mention particulière de 

 certains ds' déduits du plan. Ces ds"^ rentrent dans la forme générale 



(i) [<i>{x+y)-^{x~y)']dxdy, 



où l'on a posé 



. . _ A.p^(.-) +B,p3(-) + C,y.(-) + Dp(;) + E 

 ^)-^- p"(=) 



A, R, C, D, E sont des constantes et p{:-) représente la fonction de 

 M. Weierstrass. Ces ds^ admettent p(aT), p{y) comme coefficients de 

 transformation et, par suite, reprennent la forme de Liouville si l'on 

 prend pour variables 



)) On retombe ainsi sur un type identique au type d'où l'on est parti, 

 mais oîi les sept constantes A, B, C, D, E, g.;,, gy ont des valeurs nou- 

 velles. L'intégration de l'équation d'Euler donne les géodésiques de ces 

 surfaces. 



» Tous les r/5- conjugués des ds- de la forme (i) correspondent à des 

 surfaces de courbure constante; comme, d'autre part, la forme (i) devient 

 le ds^ d'une surface de courbure constante lorsque le numérateur de $ est 

 divisible par p'-{x), on voit que les ds- des surfaces de courbure con- 

 stante sont leurs propres conjugués. 



» Ces indications sont surtout destinées à compléter celles que j'ai déjà 

 données dans ma première Note. Mais je ne crois pas devoir entrer dans 



