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GÉOMÉTRIE. — Sur certains éléments linéaires harmoniques. 

 Note de M. Raffv, présentée par M. Darboux. 



« A propos de ma Coinmiinication du i/( octobre, M. Kœnigs a tait in- 

 sérer quelques observations au dernier Compte rendu. Par déférence pour 

 l'Académie, je crois devoir m'abstenir de toute polémique ; mais je présente 

 aujourd'hui même un pli cacheté contenant la démonstration des résultats 

 (pie je n'ai fait qu'énoncer il y a quinze jours et qui fournissent, sous 

 forme explicite, tous les éléments linéaires doublement harmoniques. 



» Voici maintenant la solution d'un problème relatif aux éléments li- 

 néaires harmoniques. Étant donné un élément linéaire idxdy, reconnaître 

 si cet élément est réductible ou non à la forme 



o(x' -i~ y')dx' dy. 



■» Exprimons que, par un changement de variables convenable, 



dx = ldx', dy = r, dy', 



où E ne dépend que de x et t] que àey, on vérifie l'identité 



X dx dy = çp (.r' + y' ) dx' dy' 

 qui revient à 



(p ^ AÇV). 



M Nous aurons à écrire que les deux dérivées de cp par rapport à r' et y 

 sont égales. On trouve ainsi la condition 



ôr a Y • 



qui, développée, devient 



(^l) ;' — t' -\- Ew',. — r,(o', =: o (to = L7.). 



» Égalant à zéro la dérivée seconde par rapport à x et à j du premier 

 membre de cette équation et tenant compte de cette équation elle-même, 

 nous aurons 



