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plus étendue, qui est une généralisation du théorème célèbre de Graves et 

 de Chasles sur les arcs de conique. 



» Soient a,, p, y les paramètres directeurs de l'axe d'un parallèle, ç son 

 angle. La développable circonscrite à (E) le long de ce parallèle a trois 

 coniques doubles à distance finie; ces coniques, dont les plans passent pur 

 le centre de (E), sont situées respectivement sur trois quadriques homo- 

 fbcales à (E), et, si l'on détermine par la relation 



les trois valeurs de ainsi obtenues, substituées dans l'équation 



+ f) 6- + c- 4- 



— I = o. 



donnent les équations des trois quadriques homofocales dont il s'agit. Une, 

 et une seule, de ces quadriques est toujours un ellipsoïde (E, ), extérieur à 

 (E), si a, [i, y, (p sont réels. 



» Cela posé, si l'on désigne par s l'aire du parallèle, et si l'on introduit 

 les fonctions elliptiques en posant 



3b'c' 3«=c^ 3a'-lA 

 e?, = I > e., = I — > ^3 ^^ I ^' 



? ' P P 



p =: «- 6- + a C -h l> c , 



on démontre, en appliquant une formule que nous avons fait connaître 

 pour l'extension aux intégrales doubles du théorème d'Abel, la relation 



étant la racine positive de l'équation (i), S une expression algébrique, et 

 v le plus petit argument positif défini par l'équation 



On démontre ensuite que S n'est autre chose que l'aire des deux nappes 

 de la développable circonscrite à (E) le long du parallèle, ces nappes étant 

 limitées, d'une part, à l'ellipsoïde (E) et, d'autre part, à la conique double 

 située sur l'ellipsoïde homofocal extérieur, qui correspond à la valeur 0. 

 » H résulte de là que S — s, au lieu de dépendre de toutes les quantités 



