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 qu'il en soit ainsi, montre aussitôt que, pour les conjuguées des lignes 

 t — const., [j. est donné par une équation de Riccati. On est donc d'abord 

 conduit à rechercher, parmi les surfaces A, celles C sur lesquelles les 

 lignes [j. --= const. et t ^= const. sont conjuguées. 



» I. On peut les obtenir facilement quand les lignes i — const. sont 

 planes. 



» Je laisse de côté le cas simple où les plans P de ces lignes passent par 

 une droite. On voit aisément que les surfaces C, dans lesquelles les lignes 

 / = const. sont d'an degré donné, s' ohlieunent i\\or s pai des opérations pure- 

 ment algébriques. 



» Supposons que les plans P enveloppent une développable 2. Soient 

 t = const. ses génératrices rectilignes. Une surface quelconque peut être 

 regardée comme la seconde surface focale de la congruence des tangentes 

 à un certain système de lignes jj. = const., tracé sur 1; la transformation 

 deLaplace, convenablement appliquée à 1, fournira donc, avec une fonc- 

 tion arbitraire de [j. et de t, les expressions générales des coordonnées d'un 

 pointd'une surface quelconque 2,, rapportée à un svstèmede lignes planes 

 t = const. , et à son conjugué a — consl. 



)) Pour abréger, je n'examinerai ici que le cas oîi 1 n'est pas un cône. 

 Je désigne par Ac(A, B, C, .... L), où A, B, C, . . ., L sont n fonctions de 

 y. et t, le déterminant d'ordre n dont une ligne quelconque de rang /• est 

 formée des« — i dérivées successives, par rapport à /, de la fonction écrite 

 au rang ^' dans la parenthèse, et de cette fonction elle-même (les indices 

 de dérivation étant, bien entendu, toujours dans le même ordre). 



» En définissant ainsi un point de 1, 



(1) p.r, = A,(ç,-,D) (i = i,2,3,4), 



les ç étant fonctions de t seul, et D une fonctiou arbitraire de y. et de t, on 

 trouve, pour i,, 



(i,) pa7, = \(^c/. 1), ^) («■=i,2.:3,4). 



» Pour que i, soit une sur/ace C, il faut et il suffit que i en soit une. D'ail- 

 leurs les coordonnées ;/ d'une tangente à la ligne t -— const. rapportée au 

 triangle (E,, E',, E'^) dans son plan sont exprimées ainsi 



^ rm d-Y) 



pM, = D, pw,, =-^, pa, ===-^. 



