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 particulier d'une autre plus étendue et si la fonction des deux éminents 

 actuaires anglais n'était pas susceptible de généralisation. Il m'a sufQ de 

 suivre la voie que m'ouvrait la démonstration de M. Bertrand, pour ob- 

 tenir le résultat que j'avais en vue et qui est l'objet du présent travail. 



» Tout d'abord la question peut se poser ainsi : exprimer seulement, à 

 l'aide de n variables, indépendantes de .r, la probabilité que, dans x an- 

 nées, un groupe de /t-t-/) individus existera encore tout entier. Analvti- 

 quement l'on doit avoir, quel que soit a-, 



( I ) -, — ; -TT — •• • 77—- = (T(a, S, . . ., 0, .r ). 



oc, p, . . ., sont au nombre de // et ne dépendent pas de x, et (/, b, . . ., / 

 sont les âges de n -r p individus. La fonction ?(^) représente le nombre 

 des vivants à Tàge :;, pour un nombre donné de naissances; c'est elle qu'il 

 s'agit de déterminer, ainsi que la fonction du second membre, en imposant 

 entre a, b, . . ., /et a, fi, . . ., des relations convenables. 



w Prenons les logarithmes, puis les dérivées par rapport à .r des deux 

 membres de (i); posons 



<?(J) '^-^ G(a, |3, ..., 6. x) — U«' .^' ■ ••• '-^^ 



nous avons ainsi 



<i(rt-(-.r) + 'i;(^ + j") -h. .^n- '1(1^ X) = F(7.. [i, . ... 0, .r). 



Il Comme cette relation doit aussi avoir lieu quel que soit x, nous pou- 

 vons encore égaler les dérivées des deux membres |)rises par l'apport à x, 

 et cela n fois successivement. Faisant enfin ,r ~ o dans tous les résultats, 

 nous arri\ ons au système 



I 



i(fl) +'K*) +•••-^^'(0 =F«. 



6'(a) -+--y(b) +...+ ^'(/) =F,, 



f i"" (a)+ i""( /> )-!-...+ ■:""(/) = F„, 



F„, I',, . . ., F„ étant ce que deviennent F et ses /i premières dérivées prises 

 par rapport à x, quand on y fait x ■— o. 



» Mais les seconds membres de (2) sont au nombre de n -\- \ et ne dé- 

 pendent que de n Aariables a, [i, .... 0. Il \ a donc une relation entre les 

 premiers membres. 



» Ces premiers membres ne sont autre chose que n -f- 1 fonctions de 

 /; -i- j> variables indépendantes </, b. ...,/, La condition nécessaire et suffi- 



