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filets sur l'axe des jt, nulle pour z = H ou pour r = o et partout très- 

 pofite, est tléveloppable par la série de Taylor limitée à son premier terme, 

 c'est-à-dire à peu près proportionnelle à H — z ou à r (elle le serait rigou- 

 reusement, si u ne dépendait pas de z ou de r), de manière que le rapport 



à u de la composante de la vitesse normale aux x soit ^ h' ou - R' 



[h' et R' désignant les dérivées en x de h et R) f *) ; d'après les expressions 

 déjà trouvées de cette composante et de u\ il en résultera pour u les va- 



leurs —II-' Y "" "~ "" "r~' 'l"'' portées dans (2), changeront celles-ci en 

 desimpies équations différentielles entre u et z ou u et r. La deuxième de 

 ces équations ne me paraît pas intégrable par les procédés connus; mais la 

 première, multipliée par ^du, l'est une fois, et donne, en combinant son 

 intégrale première avec la condition spéciale à la paroi, une relation sous 

 forme finie entre les deux valeurs de u„ à la surface et au fond. 



» Mais contentons-nous de déduire de ces équations différentielles une 

 formule approchée, permettant, si h et R sont assez petits, de calculer en 

 fonction de l'abscisse .r la profondeur variable h que prend le fluide dans 

 le canal rectangulaire très-large, ou la pression p' dans le tuyau circulaire 

 de diamètre variable. Nous multiplierons, pour cela, la première par dz, la 

 seconde par dr, et nous intégrerons à partir de z =: H — A ou de ;'= o. Le 

 résultat, particularisé pour z = H ou r = R, et combiné avec la condition 

 à la paroi, donne 



(3) B«5 = soit ('-/''---) h, so.t (sm.- -^ - -]-■ 



» En y laissant, au contraire, z ou ;■ quelconques, multipliant ])ar dz 

 ou di\ et intégrant à partir de z = H ou de r = R, après avoir simplifié un 



(*) Si la largeur a du canal découvert était de même variable, ou avait une dérivée a' en 

 .r, le rii])|)()rt de ii' à « aurait la mcnie expression ; et, pour des raisons pareilles, le rapport 

 de la (omposante c (qui n'est plus alors nulle) à u vaudrait sensiblement le quotient de a'y 

 ]iar « : ces expressions de «' et v en fonction de h, combinées avec la condition connue 

 d'incomiiressibilité, donneraient u' égal au quotient par ah de — u''[ah' + lia'). Rien ne 

 serait changé aux raisonnements cpii suivent : le numérateur de la première (7) aurait seu- 

 lement de nlus le ternie (i+t,-(- /,^H'i~- /( ; mais II serait alors variable avec <i, d'après la 

 ' a 



relation /^<j)(H)Q' = Wia'', et il conviendrait de prendre |)our axe des j- le profil en long 

 du fond. 



