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 ces axes harmoniques sont dans la théorie des coniques les droites, appelées 

 les polaires, qui interviennent dans presque toutes les propriétés de ces 

 courbes, dont le nombre s'accroît continûment, on peut penser que les axes 

 harmoniques des courbes d'ordre supérieur sont susceptibles aussi d'inter- 

 venir dans une foule de questions générales de la géométrie. Ce sont les 

 propriétés auxquelles donnent lieu ces axes harmoniques, qui font le sujet 

 de la présente Communication. 



» J'ai classé les théorèmes en six chapitres. Les axes harmoniques s'y 

 rapportent toujours à une courbe générale U^, c'est-à-dire d'ordre m : et 

 il ne sera pas nécessaire de répéter cette condition primitive. Nous aurons 

 à considérer, soit les axes harmoniques dont les pôles sont donnés, soit 

 des droites données comme axes harmoniques et dout les pôles font le 

 sujet des théorèmes. 



» Dans le premier chapitre, on considère les axes harmoniques des 

 points d'une courbe donnée U,„', d'ordre m'. Si cette courbe devient une 

 droite, on a ainsi les propriétés des axes harmoniques que l'on peut con- 

 clure, comme il vient d'être dit, de celles des diamètres qui ont été le sujet 

 de ma Communication antérieure. 



» Le second chapitre se rapporte aux tangentes d'une courbe U,„', que 

 l'on considère comme axes harmoniques de la courbe U,„; les théorèmes 

 expriment des propriétés relatives aux pôles de ces tangentes prises ainsi 

 pour des axes harmoniques de la courbe U,„. 



M Dans le troisième chapitre, les axes harmoniques de la courbe U,„ ont 

 leurs pôles sur les tangentes ou les normales d'une courbe U,„'. 



» Dans le quatrième chapitre, on considère, indépendamment de la 

 courbe U„', qui a donné lieu aux axes harmoniques de U,„ dans les trois 

 chapitres précédents, une seconde courbe U,„" indépendante de la pre- 

 mière. 



)) Le cinquième chapitre traite des axes harmoniques de deux courbes 

 U,„, U,„ , dont les pôles sont déterminés par l'intervention de deux courbes 

 étrangères U,„', U,„". 



B Enfin, le sixième chapitre concerne les axes harmoniques de trois 

 courbes quelconques U„, U„,_, U,„,. 



Chapitre I. — Concernant les axes harmonioues de la courbe U^, qui ont leurs pôles 



SUR UNE COURBE U„,<. 



§ i"". — Propriétés relritii'es à la courbe enveloppe des axes kamonirjites des points de U„,'. 



» 1. Les axes harmoniques des points d'une courbe \} ,„• ^ relatifs à une 



