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 tions successives seront 



En portant dans la première de ces formules la première valeur approchée 

 de ii{u = U(,)i i^» obtiendra une première approximation de i», laquelle, 

 au moyen de la seconde formule, en fournira uue deuxième de u, et ainsi 

 de suite. On trouve ainsi pour ç, dont u, v sont les dérivés en x, j et que 

 je conviens de choisir nulle quand x := ce, 



i'"" , I dut , I d'Uo 4 I d^u, 



(,) 9 = - «0^^*- - yt; ^j- + 77^7374 -^i - ^:^z5r6 -d^^ "*"•••• 



Les mouvements étant supposés continus, les mêmes molécules restent con- 

 stamment à la surface libre^ et l'accroissement Vidt, pendant lui instant dt, 

 de l'ordonnée d'une de ces molécules, vaut celui que reçoit y ow H 4- h 

 lorsqu'on y fait croître t de dt et x de u^dt. Comme d'ailleurs la for- 

 mule (i) de l'article sur l'onde solitaire [Comptes rendus^ t. LXXII, p. 756) 

 subsiste toujours, on aura 



, , d/i d/i 7 da > / n o \ / > 1 f ■ 1-1 \ 



(^) ^' ^ Tt '^ '^' Zc' §/' + ^ +-("! + ''!) = ('l'i' surface libre). 



» En substituant k u,, v,, (p leurs valeurs tirées de (i), ces relations (2) 

 deviendront deux équations aux dérivées partielles en ;/„ et h, qu'elles ser- 

 viront à déterminer. Je supposerai les quantités ;<„, h Irès-petites, et leurs 

 dérivées successives en x de plus en plus insensibles. A une première ap- 

 proximation, on pourra ne conserver dans la première (2) que les termes 

 comparables à la dérivée première de Uq en x, et dans la seconde (2) que 

 les termes comparables à u„ : si les mouvements se projjagent dans le sens 

 des X positifs, on trouvera aisément les i-ésultals connus de Lagrange : 



h ==/ [x — t \lgli), «0 = '6 rapport de h y/;,' à \JH. 



» A une seconde approximation, on devra, dans cfiacune des rela- 

 tions (2), garder le premier des termes de n,^ i',, (p qui était d'abord négligé; 

 mais on pourra donner à Uo et h, dans tous les termes très-petits par rap- 

 port à d'autres, les valeurs obtenues précédemment; de plus, dans la se- 

 conde (2), ^>^^, qui n'est que de l'ordre du carré de la dérivée première 

 de Uq en x, sera négligeable devant ii'|. Il viendra ainsi : 



/ d/i -- du, /g d /,., H' d'/i\ 



I gk^r±^dx-^(^-^R^^ 



[ ^ Jx ^^' 3 VH ^ d. 



