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 « Le déterminant X a pour valeur 



(3) X = 7'.,X, — 7, X,, 



et, à cause de la formule (a), on trouve, en faisant usage de la propriété des 

 fonctions homogènes, 



i àT ^ ^ 1 âT 



2T 'J^, 



(4) X, = ^^-^x, x, = -^:^x. 



» Quant à l'invariant A de la force vive, il a pour expression 

 et, si l'on pose 



(6) ® = \/;^X' 



la quantité que j'ai désignée par 2B aura pour valeur 



,B = (e5)-, 



en sorte que l'expression de la variation du deuxième ordre de l'intégrale V 

 est, dans le cas qui nous occupe, 



(7) *'^=X"(«^: 



dt. 



» L'équation différentielle qu'il faut joindre à l'équation (2) pour déter- 

 miner les fonctions inconnues X,, X2 est fournie par la formule (49) ou par 

 la formule (5i) de mon Mémoire; cette équation est la suivante : 



2 -^1 "*~ ,) „' A..I ^2 —T7, <- -T-r—TT A., -t- -^r— Ao 



àql àq.dq, -] de \àq\Oq', ' ' dq; ' ) df 



-t- [L,,,X?+ (L,,o + L,,,)X,X,4- L,,,X^] = o; 

 mais on a, par les formules (4) et (6), 



et, en transportant ces valeurs de X,,X2 dans l'équation (8), on obtient, 

 après la suppression du facteur commun à fous les termes, l'équation 

 différentielle du deuxième ordre en 



10) ^ + K0 = o. 



