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 de l'infini yjeut être utile, soit dans l'Algorithmie, soit dnns la Géométrie. 

 Or, non-seulement elle y est utile, mais elle y est indispensable. 



» D'abord, en Algorithmie : l'infini, à la vérité, ne peut pas être l'objet 

 du calcul, la matière du calcul; car, n'étant pas susceptible d'augmenta- 

 tion, de diminution, de multiplication, etc., ce n'est pas une quantité 

 dans le sens strict de ce mot. Mais, si l'infini n'est jamais dans les don- 

 nées du calcul , il ne laisse pas de se présenter souvent dans les résul- 

 tats. Et alors, comment pourrait-on ne pas le prendre en considération ? 

 Lorsque certains éléments d'un calcul approchent de leurs limites, il peut 

 arriver que quelques autres croissent indéfiniment; et lorsque les premiers 

 atteignent leurs limites, qu'en esl-il alors de ces autres, qui dépendent de 

 ces premiers? Comme ils ont certainement cessé de croître et que certaine- 

 ment aussi ils ne se sont pas fixés à une grandeur finie, que reste-t-il à dire, 

 sinon que leur gi'andeiu' actuelle est infinie? Ou bien la répugnance à ad- 

 mettre l'infini véritable irait-elle jusqu'à faire dire que désormais ces élé- 

 ments, dont on a suivi l'accroissement indéfini, ont à la fin cessé d'être; 

 que, désormais, ils ne sont plus rien, qu'ils ne représentent rien? Mais la 

 raison se refuse à une telle conclusion. 



M La Géométrie, non moins que l'Algorithmie, exige la considération di- 

 recte de l'infini, car l'étendue intelligible qui est le théâtre de la Géométrie 

 est absolument sans limites; par conséquent, les figures que notre imagina- 

 tion y fait apparaître sont susceptibles de s'étendre à notre gré jusqu'à l'in- 

 fini. Et c'est jusque là qu'il faut les suivre; car si l'on s'arrête, de halte en 

 halte, aux stations successives de l'indéfini, sans vouloir jamais se confier à 

 l'infini, on s'expose à rencontrer des difficultés insurmontables, ainsi que 

 cela se voit, par exemple, dans l'histoire du célèbre poslidatum cCEuclide. 

 Comme l'énoncé de cette proposition implique l'étendue illimitée du plan, 

 toute tentive de la démontrer par les propriétés de quelque figure de dimen- 

 sion finie est à priori frappée d'impuissance. Deux démonsiralions célèbres 

 échappent à cette critique, parce qu'elles sont fondées sur la considération 

 de l'infini : l'une a été proposée par Arnaud, le grand docteur de Sorbonne, 

 au dix-septième siècle; l'autre par Bertrand de Genève, au dix-huitième. 

 Pourquoi ces démonstrations sont-elles généralement considérées, l'une et 

 l'autre, comme non avenues? C'est que l'infini qu'Arnaud et Bertrand ont 

 mis en jeu y est entendu dans un sens qui n'est pas le leur : dans le sens 

 vulgairement adopté aujourd'hui, c'est-à-dire coniuie rel.ttif à des grandeurs 

 indéterminées, susceptibles d'avoir entre elles des rapports variables; et il 

 est vrai qu'en ce, sens ces deux démonstrations sont dépourvues de toute 



