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 équation de la lorme 



X étant un paramètre arbitraire dont la variation donne toutes les sphères 

 tangentes au même point de la surface. Exprimons que cette sphère passe 

 par quatre points consécutifs d'une courbe tracée à partir du point fjc-, 7, s), 

 et, pour cela, différentions trois fois l'équation précédente, en y regar- 

 dant X, y, z comine constants. Nous aurons 



(X - x) ^X + . . . -+- X (3^ ^X +...') = o, 



^X^ + (X-a-j^^X + ... + xf^rf=X+ ...) =0, 



3rfXW^X+(X-x)^'X + ... +X (^c?'X+ ..."l =0. 



» Si, dans ces trois équations, nous faisons X = .x", . .., la première est 

 identiquement vérifiée; les deux autres deviennent 



as- + / r- rf^ X + -7- fl-' } H- — rt- z =0, 



\ dx dr ' i'Z I 



3 r/s d'-s + X ( T- ^' •^' -f- 'r- <^^ r -1- ^ «^' s ) = o, 



\;>;r ^r -' ^z j 



où ds,d-s désignent les différentielles de l'arc. En éliminant X par la divi- 

 sion, nous obtenons 



3 ifs ^ ox 



2 ,- 



» Cette dernière équation paraît être du troisième ordre; mais on peut 

 éliminer les différentielles du troisième ordre, au moyen des identités que 

 l'on obtient en différentiant l'équation 



y '— dx — o, 



et l'on trouve, pour l'équation différentielle du problème, 



2 > d\rd-- -^ \ dxd^ ■— 

 , , id^s ^ ex j/j O.r 



('] ils — V , T^F 



L''"'^-x 



