(734) 

 » Dans le cas d'une surface du second degré, l'équation précédente s'in- 

 tègre immédiatement. On a en effet ['identité 



» L'équation (i) prend donc la forme 



'1 



„ , , dx d ^—- 

 ds 



\ dx d —- 

 ^ ex 



» Les deux membres deviennent des différentielles exactes; et en inté- 

 grant, on est conduit à l'équation 



(3) k ds' = Sdx d^^- 



» Cette équation, du premier ordre, peut elle-même s'intégrer par l'em- 

 ploi des coordonnées elliptiques. 



1) Elle se ramène à une équation de la forme 



{? — "){?— f')(? — f ) {?' — «) (P' — '')[?' — c) ' 



OÙ les variables sont séparées. Aux valeurs de A, k = a, b, c, correspondent 

 les trois systèmes de sections circulaires. Pour chaque valeur de A, on peut 

 trouver les trajectoires orthogonales des lignes satisfaisant à l'équation dif- 

 férentielle, ce qui comprend, comme cas particulier, un résidtat trouvé par 

 M. Catalan sur les trajectoires orthogonales des sections circulaires de 

 l'ellipsoïde. 



» Avant de traiter la même question pour toutes les surfaces du qua- 

 trième ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double, surfaces que 

 j'appelle des cycUdes, j'ai besoin de rappeler quelques résultats contenus 

 dans un Mémoire présenté à l'Académie en i868. Dans ce Mémoire, j'ai 

 été conduit, en cherchant à mettre sous une forme simple l'équation des 

 cyclides, à une équation remarquable qui donne les propriétés de cinq 

 sphères orthogonales. 



» Soient 



S, = o, / = I, 2, 3, 4, 5 



les équations de cinq sphères orthogonales de rayons R,; on a l'identité 



