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 un petit disque relié à la roulette par une vis sans fin permet de totaliser le 

 nombre de tours de la roulette. 



» Désignons par x et j' les coordonnées d'un point de la courbe, par l 

 la longueur de la tige comprise entre le style et le point qui est guidé sui- 

 vant l'axe des x, par a et ^ les angles que font respectivement avec l'axe 

 des X la tige porte-slyle et l'axe de rotation de la roulette, et enfin par ç 

 Xavc linéaire dont la roulette a roulé sur le papier. Je démontre dans mon 

 Mémoire que si le style partant d'un point quelconque de la courbe revient 

 à son [joint de départ en suivant le périmètre, la valeur de l'arc 9 est 



égale à 



^ dx sinjS, 



l'intégrale étant étendue au contour entier. 



Or, par une combinaison fort simple d'engrenages, on peut établir entre 

 P et a l'une des relations suivantes : 



1° /3 = a; a" p = 2a+-; 3" p = 3a. 



» Si l'on a suivi la description de l'instrument il est facile de voir que 

 l'on a toujours 



r 



SUl «=: -: 



d'où l'on tire, pour chacun des trois cas énoncés plus haut, 



1° sinp=y et [dxûn^ — -^ ■' '^ + C; 



2y' (^ 2/>*' dx 

 2° sinp=:cos2a = I — 2 sin'a = i j^- et |rfj"sinp=:j- ^^-j^ — '■ — I- C; 



3» sinp= sin3a = 3 sina — 4sin'a et idx^m^^^-^ '^'li -^^• 



» De ces trois relations on conclut, en désignant par çp,, ©o, çJj les lec- 

 tures faites sur la roulette dans chacun des trois cas, 



^ydx = y, /, ^f-dx = - ^' ^j^dx = J (3^, - ?,). 



La première de ces intégrales donne l'aire de la figure fermée, la seconde 

 donne le centre de gravité et la troisième le moment d'inertie. 



» Il est facile de voir que l'on obtiendrait par le même procédé les inté- 

 grales de la forme fy"'dx. 



