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 cédé identique à celui dont nous nous sommes servi, dans notre Traité des 

 substilutiotis, pour ramener une substitution linéaire quelconque à sa forme 

 canonique. Nous allons de même ramener le système (i) à une forme cano- 

 nique, qui puisse s'intégrer immédiatement. 



M Le déterminant A jouit de cette propriété remarqtiable et facile à 

 démontrer que ses coefficients ne sont pas altérés lorsqu'on prend pour 

 variables indépendantes, au lieu de x,,.. ., x„, des fonctions linéaires 

 quelconques de ces quantités. 



M Cela posé, décomposons A en facteurs irréductibles, et soit 



A = [F{s)f[F,{s)f'.... 



Soit 0- une des racines de l'équation F(^) = o, par exemple; l'équation (2) 

 aura p. racines égales à a, et la fonction 



/= ax, -h. . .-\-lx„ 

 satisfera à la relation 



(3i 1 = "-, 



si l'on a les n relations 



aa, -H. . .-I- Xrt„ = ac, ..., cd, -h. . .-{-ll„ = ka^ 



lesquelles, vu la relation A( a) = o, ne sont pas toutes distinctes, et dé- 

 termineront d'vme manière plus ou moins complète les rapports des 

 constantes a,..., X. Supposons, pour fixer les idées, que n — v de ces 

 relations soient distinctes. Les fonctions qui satisfont à la relation (3) 

 s'exprimeront linéairement par v d'entre elles, j, , . . . , j^,j. Prenons-les pour 

 variables indépendantes à la place de a,,..., js\. Les équations différen- 

 tielles prendront la forme 



clr., 



(5) 



dt 



0-r 



= c-j"v, 



+ ...+ A-',x„ + fonct.fj,,.. ., J'v), 



lit 



^n—i «^v 



l<n-,^n +• fonct. ( r , , . . . , 7v), 



et l'on aura A = ((7— ^yA', A' désignant le déterminant 



s ... U, 



a. 



ci„ 



a:. 



