( 7^9 ) 

 » Donc |x est au moins égal à y. S'il est plus jgrand, n sera racine de 

 l'équation A' = o, et l'on pourra déterminer des fonctions s,,--- Zv des 

 variables o-Vi, • •■ ^ ^n q"i satisfassent à des relations de la forme 



Les fonctions linéaires^, ,..., // seront distinctes [sans quoi on pourrait dé- 

 terminer une fonction linéaire de z,,..., z^' satisfaisant à l'équation (3), ce 

 qui est absurde, les seules fonctions de x,,..., x^ qui satisfassent à cette 

 équation étant, par hypothèse, les fonctions linéaires de ^i,..., 7^], et l'on 

 peut supposer qu'elles se réduisent respectivement à j-,,..., 7,/, car on peut 

 prendre pour variables indépendantes, à la place de j-,,..., j„^ des fonc- 

 tions linéaires quelconques de ces quantités, sans changer la forme du 

 système (5). 



» Prenant z-,,.., z,/ pour variables à la place de a",,4.,,..., x^+y, on 

 aura A=: (<7 — ^)''"^'''A", A" étant un nouveau déterminant. Donc p. > v -f- v'. 

 Si fi >■ V + v', on pourra déterminer des fonctions ?<,, — 11^,, satisfaisant à 

 des relations de la forme 



du y , . 



-^ = c-;V+ç.,«(j,,...^;V> Z),-'-7 ^vj» 



'^,,..., (pv" étant des fonctions distinctes que l'on peut supposer se réduire 

 à Z|,..., z,//. Poursuivant ainsi, on voit que les variables indépendantes 

 peuvent être choisies de telle sorte qu'aux fjt, racines égales à a que possède 

 l'équation A = o correspondent p, variables nouvelles formant un certain 

 nombre de séries contenant respectivement r, r',... variables, /• + /■' + ... 

 étant égal à p., et les variables d'une même série étant liées par une suite de 

 relations de la forme 



,,, , dy\ dz^ du, div, 



(^) 1^ = ^/0 7/7 = ^--<+Tm ,/,=<^"i + 2,, ..., _ = ffîv,4-(',. 



Soit rie nombre de variables de la série j,,..., w,- le système des équa- 

 tions (6) aura évidemment pour intégrales le système suivant : 



^\i {t) étant une fonction entière arbitraire du degré /• — i . 



C. R. 1871, ■?'' Srmestrr. fT. LXXIU. N» J5.) lOa 



